Question

18．如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点
P的坐标是（0，$\frac{3}{2}$），（2，0），（$\frac{7}{8}$，0）．

Answer 1

分析 分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，$\frac{3}{2}$）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（2，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP=∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，得到$\frac{AC}{OA}$=$\frac{AP}{AB}$，再计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．

解答 解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，由点C是AB的中点，所以P为OB的中点，此时P点坐标为（0，$\frac{3}{2}$）；
当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，由点C是AB的中点，所以P为OA的中点，此时P点坐标为（2，0）；
当PC⊥AB时，如图，∵∠CAP=∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABC，
∴$\frac{AC}{OA}$=$\frac{AP}{AB}$，
∵点A（4，0）和点B（0，3），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵点C是AB的中点，
∴AC=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{4}$=$\frac{AP}{5}$，
∴AP=$\frac{25}{8}$，
∴OP=OA-AP=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
此时P点坐标为（$\frac{7}{8}$，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，$\frac{3}{2}$），（2，0），（$\frac{7}{8}$，0）．
故答案为（0，$\frac{3}{2}$），（2，0），（$\frac{7}{8}$，0）．

点评 本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了坐标与图形性质．注意分类讨论思想解决此题．