Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D．
（1）求证：点D是BC的中点；
（2）过点D作DE⊥AC，求证：DE是⊙O的切线；
（3）若AB=8，∠ABC=30°，求四边形DEAB的面积．

Answer 1

分析 （1）连结AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，然后根据等腰三角形的性质易得点D是BC的中点；
（2）连结OD，如图，先证明OD为△ABC的中位线，得到OD∥AC，由于DE⊥AC，则DE⊥OD，于是根据切线的判断定理得到DE是⊙O的切线；
（3）利用含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ABD中计算出AD=$\frac{1}{2}$AB=4，BD=$\sqrt{3}$AD=4$\sqrt{3}$，则可得到S_△ADS_△ADB=8$\sqrt{3}$，根据等角的余角相等得到∠ADE=∠B=30°，则可计算出AE=$\frac{1}{2}$AD=2，DE=$\sqrt{3}$AE=2$\sqrt{3}$，所以S_△ADE=2$\sqrt{3}$，然后利用四边形DEAB的面积=S_△ADB+S_△ADE进行计算．

解答 （1）证明：连结AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
即点D是BC的中点；
（2）证明：连结OD，如图，
∵BD=CD，OB=OA，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（3）解：在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=4，BD=$\sqrt{3}$AD=4$\sqrt{3}$，
∴S_△ADB=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
∵∠ADE=∠B=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=2，DE=$\sqrt{3}$AE=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴四边形DEAB的面积=S_△ADB+S_△ADE=8$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=10$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等腰三角形的性质、三角形中位线性质和含30度的直角三角形三边的关系．