Question

15．如图，平面直角坐标系中，点O为原点，点A，C分别在坐标轴上．正方形OABC边长为4，△CDO是以CO为斜边的等腰直角三角形，点E在DO上，且线段BE平分五边形OABCD的面积，则点E的坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 作DG⊥OC于G，作EF⊥x轴于F，先求出点D坐标，再求出直线OD的解析式，求出五边形OABCD的面积和四边形OABE的面积，设点E坐标为（a，-a），由四边形OABE的面积=梯形AEF的面积-△OEF的面积，得出方程，解方程即可．

解答 解：作DG⊥OC于G，作EF⊥x轴于F，如图所示：
则四边形ABEF是梯形，CG=OG=$\frac{1}{2}$OC=2，
∴D（-2，2），
设直线OD的解析式为y=kx，
把D（-2，2）代入得：k=-1，
∴y=-x，
设点E坐标为（a，-a），
∵△CDO是以CO为斜边的等腰直角三角形，
∴OD=CD=OC•sin45°=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴△CDO的面积=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4，
∵正方形OABC的面积=4×4=16，
∴五边形OABCD的面积=16+4=20，
∵BE平分五边形OABCD的面积，
∴四边形OABE的面积=10，
∵四边形OABE的面积=梯形ABEF的面积-△OEF的面积=$\frac{1}{2}$（-a+4）（-a+4）-$\frac{1}{2}$a²=10，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴点E的坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
故答案为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题是一次函数综合题，考查了一次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质、多边形面积的计算方法等知识；本题难度较大，综合性强，通过作辅助线根据四边形的面积列出方程是解决问题的关键．