Question

3．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
【问题发现】如图1，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，若点E在弧AB上，F是DE上的一点，且DF=BE．试说明：△ADF≌△ABE；
【变式探究】如图2，若点E在弧AD上，过点A作AM⊥BE，请说明线段BE、DE、AM之间满足等量关系：BE-DE=2AM；
【解决问题】如图3，在正方形ABCD中，CD=2$\sqrt{2}$，若点P满足PD=2，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．

Answer 1

分析 （1）中易证AD=AB，EB=DF，所以只需证明∠ADF=∠ABE，利用同弧所对的圆周角相等不难得出，从而证明全等；
（2）中易证△AEF是等腰直角三角形，所以AF=AE，因为AM⊥BE，所以FM=ME=AM，EF=2AM，EF=BE-BF=BE-DE，得出结论；
（3）由PD=2可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助（2）中结论，即可解决问题．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，
∠ABE与∠ADE都对应弧AE，
∴∠ABE=∠ADE，
在△ADF和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADE}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABE（SAS）；

（2）证明：在BE上取点F，使BF=DE，连接AF，
由（1）△ADE≌△ABF，
∴BF=DE，AE=AF，∠DAE=∠BAF，
在正方形ABCD中，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠DAF=90°，
∴∠DAE+∠DAF=90°，
∴∠EAF=90°，
∴△EAF是等腰直角三角形三角形，
∵AM⊥BE，
∴FM=ME=AM，
∴EF=2AM，
∵EF=BE-BF=BE-DE，
∴BE-DE=2AM；

（3）解：点A到BP的距离是$\sqrt{3}-\frac{1}{2}$或$\sqrt{3}+\frac{1}{2}$，
理由如下：
∵PD=2，
∴点P在以点D为圆心，2为半径的圆上，
∵∠BPD=90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴点P是这两圆的交点，
①当点P在如图3①所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，
过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=2$\sqrt{2}$，∠BAD=90°，
∴BD=4．
∵DP=2，
∴BP=2$\sqrt{3}$，
∵∠BPD=∠BAD=90°，
∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，
∴∠APB=∠ADB=45°，
∴△PAE是等腰直角三角形，
又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，
∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD，
2$\sqrt{3}$=2AH+1，
∴AH=$\sqrt{3}-\frac{1}{2}$；
②当点P在如图3②所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，
过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②，
同理可得：BP=2AH-PD，
2$\sqrt{3}$=2AH-2，
∴AH=$\sqrt{3}$+1，
综上所述：点A到BP的距离为$\sqrt{3}$-1或$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键．