Question

【题目】我市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为W万元．（毛利润=销售额﹣生产费用）

（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）

（2）求W与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？

（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？

Answer 1

【答案】（1）y=x2．z=﹣x+30（0≤x≤100）；（2）年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；（3）今年最多可获得毛利润1080万元

【解析】

（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；（2）根据（1）的表达式及毛利润＝销售额﹣生产费用，可得出w与x的函数关系式，再利用配方法求出最值即可；（3）首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可.

（1）图①可得函数经过点（100，1000），

设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0），

将点（100，1000）代入得：1000＝10000a，

解得：a＝，

故y与x之间的关系式为y＝x2．

图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），

设z＝kx＋b，则，

解得： ，

故z与x之间的关系式为z＝﹣x＋30（0≤x≤100）；

（2）W＝zx﹣y＝﹣x2＋30x﹣x2

＝﹣x2＋30x

＝﹣（x2﹣150x）

＝﹣（x﹣75）2＋1125，

∵﹣＜0，

∴当x＝75时，W有最大值1125，

∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；

（3）令y＝360，得x2＝360，

解得：x＝±60（负值舍去），

由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，

由W＝﹣（x﹣75）2＋1125的性质可知，

当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，

故当x＝60时，W有最大值1080，

答：今年最多可获得毛利润1080万元．