Question

9．如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠B=∠D=45°．若AD=$\sqrt{6}$，则AB=$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 作AE=AB交BC延长线于E点，则∠B=∠E，而∠B=∠D，得到∠D=∠E，由∠ACB+∠DAC=180°，∠ACB+∠ECA=180°可得到∠DAC=∠ECA，然后根据“AAS”可判断△DAC≌△ECA，根据全等的性质得CD=AE，于是有CD=AB，求出CD即可．

解答 解：如图：
作AE=AB交BC延长线于E点，过A作AM⊥DC于M，
则∠AMD=∠AMC=90°，∠B=∠E=45°，
∵∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∵∠ACB=105°，∠B=45°，
∴∠CAB=180°-105°-45°=30°，
∵∠DAB=105°，
∴∠DAC=75°，
∴∠DAC+∠CB=180°，
∵∠ACB+∠ECA=180°，
∴∠DAC=∠ECA，
在△DAC和△ECA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠ECA}\\{∠D=∠E}\\{AC=AC}\end{array}\right.$
∴△DAC≌△ECA，
∴CD=AE，
∴CD=AB，
在Rt△AMD中，∠AMD=90°，AD=$\sqrt{6}$，∠D=45°，
∴DM=AD×cos45°=$\sqrt{3}$，AM=AD×sin45°=$\sqrt{3}$，∠DAM=45°，
∵∠DAC=75°，
∴∠MAC=30°，
∴CM=AM×tan30°=1，
∴CD=$\sqrt{3}$+1，
即AB=$\sqrt{3}$+1，
故答案为：$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线和求出CD=AB是解此题的关键，难度偏大．