Question

11．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+b）²=a²+2ab+b²．请解答下列问题：
（1）直接写出图2中所表示的数学等式（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²；
（2）写出图3中所表示的数学等式，并利用所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a²+b²+c²的值；
（3）图4中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片，若干个长为a、宽为b的长方形纸片，请先写出数学等式：（2a+b）（a+2b）=2a²+5ab+2b²，再利用所给的纸片拼出一个几何图形，验证该公式．

Answer 1

分析 （1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．
（2）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c=11，ab+bc+ac=38作为整式代入即可求出．
（3）找规律，根据公式画出图形，拼成一个长方形，使它满足所给的条件

解答 解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²，
故答案为：（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²．

（2）根据题意，大矩形的面积为：（a+b+c）（a+b+c）=（a+b+c）²，
各小矩形部分的面积之和=a²+2ab+b²+2bc+2ac+c²，
∴等式为（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc．
故a²+b²+c² =（a+b+c）²-2ab-2ac-2bc
=11²-2×38
=45；

（3）（2a+b）（a+2b）=2a²+5ab+2b²；
如图所示：（答案不唯一）
．

点评 本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．