Question

6．如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=$\sqrt{3}$+1，AD=$\sqrt{3}$．
（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为$\sqrt{6}$．
（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$．
（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长$\frac{5\sqrt{3}π}{12}$．（结果保留π）

Answer 1

分析 （1）先根据图形反折变换的性质得出AD′，D′E的长，再根据勾股定理求出AE的长即可；
（2）由（1）知，AD′=$\sqrt{3}$，故可得出BD′的长，根据图形反折变换的性质可得出B′D′的长，再由等腰直角三角形的性质得出B′F的长，根据梯形的面积公式即可得出结论；
（3）先根据直角三角形的性质求出∠BEC的度数，由翻折变换的性质可得出∠DEA的度数，故可得出∠AEA′=75°=∠D′ED″，由弧长公式即可得出结论．

解答 解：（1）∵△ADE反折后与△AD′E重合，
∴AD′=AD=D′E=DE=$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{AD{′}^{2}+D′{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}$；
（2）∵由（1）知AD′=$\sqrt{3}$，
∴BD′=1，
∵将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，
∴B′D′=BD′=1，
∵由（1）知AD′=AD=D′E=DE=$\sqrt{3}$，
∴四边形ADED′是正方形，
∴B′F=AB′=$\sqrt{3}$-1，
∴S_{梯形B′FED′}=$\frac{1}{2}$（B′F+D′E）•B′D′=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{3}$）×1=$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$；
故答案为：（1）$\sqrt{6}$；（2）$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$；
（3）∵∠C=90°，BC=$\sqrt{3}$，EC=1，
∴tan∠BEC=$\frac{BC}{CE}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BEC=60°，
由翻折可知：∠DEA=45°，
∴∠AEA′=75°=∠D′ED″，
∴$\widehat{D′D″}$=$\frac{75π•\sqrt{3}}{180}$=$\frac{5\sqrt{3}π}{12}$．

点评 本题考查的是图形的翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．