【题目】在直角梯形中,,,分别以边所在直线为轴,轴建立平面直角坐标系.
(1)求点的坐标;
(2)已知分别为线段上的点,,直线交轴于点,过点E作EG⊥x轴于G,且EG:OG=2.求直线的解析式;
(3)点是(2)中直线上的一个动点,在轴上方的平面内是否存在一点,使以为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2); (3)存在,.
【解析】
(1)如图过点B作BH⊥x轴,垂足为点H,则四边形OCBH为矩形,在Rt△ABH中,通过解直角三角形可求出BH的长度,进而可得出点B的坐标;
(2)作轴于点,由平行可知,得到,从而可求得EG的长度得到E点坐标,根据OD的长度可得出点D的坐标,再根据点D、E的坐标利用待定系数法即可求出直线DE的解析式;
(3)分OD为边及OD为对角线两种情况考虑:①当OD,DM为边时,作轴于点,则轴,通过相似和解直角三角形可求出点M的坐标,再根据菱形的性质即可求出点N的坐标(因为另一种情况点N在x轴下方,故可不考虑);②当OD,OM为边时,延长交轴于点,则轴,设点M的坐标为(a,-a+5),由OM=OD=5,可得出关于x的一元二次方程,解之可得出点M的坐标,再利用菱形的性质可求出点N的坐标;③当OD为对角线时,连结,交于点,则与互相垂直平分,通过函数关系式可求出点M、N的横坐标,进而求出M、N的坐标.综上即可得出结论.
(1)如图,作于点,则易得四边形为矩形,
在中,
∴,
∴点B的坐标为(3,6).
(2) 如图,作轴于点,则
又
又,D在y轴正半轴,
∴点的坐标为(0,5),设直线的解析式为:
则 解得:
直线的解析式为,
(3)存在,
①如图1,当,四边形为菱形.作轴于点,则轴,
又时 解得
在中,
②如图2,当时,四边形为菱形,延长交轴于点,则轴,
点在直线上
设
在中,
解得:
③如图3,当时,四边形为菱形,连结,交于点,则与互相垂直平分,
综上所述;轴上方的点有三个,分别为
.
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【题目】如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上,同时,抛物线C2的顶点在抛物线C1上,那么我们称抛物线C1与C2关联.
(1)已知抛物线C1:y=﹣2x2+4x+3与C2:y=2x2+4x﹣1,请判断抛物线C1与抛物线C2是否关联,并说明理由.
(2)抛物线C1:,动点P的坐标为(t,2),将抛物线绕点P旋转180°得到抛物线C2,若抛物线C1与C2关联,求抛物线C2的解析式.
(3)点A为抛物线C1:的顶点,点B为抛物线C1关联的抛物线的顶点,是否存在以AB为斜边的等腰直角三角形ABC,使其直角顶点C在直线x=﹣10上?若存在,求出C点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,点C的坐标为(0,3),点A在x轴的负半轴上,点D、M分别在边AB、OA上,且AD=2DB,AM=2MO,一次函数y=kx+b的图象过点D和M,反比例函数y=的图象经过点D,与BC的交点为N.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)若点P在直线DM上,且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,求点P的坐标.
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【题目】如图,△ABC内接与⊙O,AB是直径,⊙O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC交AC于AC点E,交PC于点F,连接AF.
(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由;
(2)若⊙O的半径为4,AF=3,求AC的长.
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【题目】如图,矩形OABC在平面直角坐标系中,点A在y轴上,点C在轴上,OC=4,直线经过点A,交轴于点D,点E在线段BC上,ED⊥AD.
(1)求点E的坐标;
(2)联结BD,求cot∠BDE的值;
(3)点G在直线BC,且∠EDG=45°,求点G的坐标.
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【题目】大美开州,最帅汉丰湖,汉丰湖步道已成为市民最好休闲圣地.雪松和余乐乐相约分别从举子园、博物馆出发,沿环湖步道相向而行.雪松开始跑步前进,中途在某地改为步行,且步行的速度为跑步速度的一半,雪松先出发5分钟后,余乐乐才骑自行车匀速向举子园行驶.雪松到达博物馆恰好用了35分钟.两人之间的距离y(m)与雪松离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示,则当余乐乐刚到举子园时,雪松离举子园的距离为_____米.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点D,点C为抛物线的顶点,过B,C两点作直线BC,抛物线上的一点F的横坐标是,过点F作直线FG//BC交x轴于点G.
(1)点P是直线BC上方抛物线上的一动点,连接PG与直线BC交于点E,连接EF,PF,当的面积最大时,在x轴上有一点R,使PR+CR的值最小,求出点R的坐标,并直接写出PR+CR的最小值;
(2)如图2,连接AD,作AD的垂直平分线与x轴交于点K,平移抛物线,使抛物线的顶点C在射线BC上移动,平移的距离是t,平移后抛物线上点A,点C的对应点分别为点A′,点C′,连接A′C′,A′K,C′K,A′C′K是否能为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
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【题目】抛物线y=2x2+bx+c经过(﹣3,0),(1,0)两点
(1)求抛物线的解析式,并求出其开口方向和对称轴
(2)用配方法求出该抛物线的顶点坐标.
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【题目】如图,在梯形中,,交边于点.
(1)当点与恰好重合时(如图1),求的长;
(2)问:是否可能使、与都相似?若能,请求出此时的长;若不能,请说明理由(如图2).
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