Question

【题目】如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在轴上，OC=4，直线经过点A，交轴于点D，点E在线段BC上，ED⊥AD.

（1）求点E的坐标；

（2）联结BD，求cot∠BDE的值；

（3）点G在直线BC，且∠EDG=45°，求点G的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（4,1）；（2）2；（3）（4，）或（4,6）.

【解析】

（1）先求出OA、OD、DC的长度，再证明△AOD≌△DCE，从而得出EC=OD，即可求出E点坐标；（2）作EQ⊥BD，根据等腰三角形的性质可求DQ和EQ的长度，即可求出cot∠BDE；（3）分G在C点下方和B点上方两种情况讨论，借助三角形的相似即可求出相应线段的长，从而求出点的坐标.

（1）∵经过点A，点A在y轴上，

∴A(0,3)，即OA=3

当y=0时，，解得x=1

∴D(1,0)，即OD=1

∵矩形OABC中OC=4，

∴OB=OA=3,DC=OC-OD=3

∠AOC=∠BCD=90°.

∴∠OAD+∠ADO=90°

∵ED⊥AD

∴∠EDC+∠ADO=90°

∴∠EDC=∠OAD

又∵OA=CD=3

∴△AOD≌△DCE（ASA）

∴CE=OD=1

∴E（4,1）.

（2）过点E作EQ⊥BD，与BD相交于Q.

∵DC=BC=3，∠BCD=90°，

∴△BCD为等腰直角三角形，

∴BD=，∠DBC=45°

∵EQ⊥BD

∴△EBQ为等腰直角三角形

∵CE=1

∴BE=BC-CE=2

∴BQ=QE=

∴QD=

∴

(3)如图①当G点在C点上方时

∵∠EDG=45°=∠EDC+∠GDC

∠BDC=45°= ∠BDE +∠EDC

∴∠GDC=∠BDE

∴Rt△GCD∽Rt△EQD

∴

即

解得GC=

故G（4，）；

②当G‘点在B点上方时

∵∠DG‘C+∠G‘DB=∠DBC=45°

∠G‘DB+∠BDE=∠EDG‘=45°

∴∠DG‘C=∠BDE

∵∠DBC=∠EDG‘ =45°

∴△DEG‘∽△BED

∴

∵,BE=2,

∴EG‘=5

∴CG‘=6即G‘（4,6）

故G点坐标为（4，）或（4,6）.