Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点D，点C为抛物线的顶点，过B，C两点作直线BC，抛物线上的一点F的横坐标是，过点F作直线FG//BC交x轴于点G.

（1）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，连接PG与直线BC交于点E，连接EF，PF，当的面积最大时，在x轴上有一点R，使PR+CR的值最小，求出点R的坐标，并直接写出PR+CR的最小值；

（2）如图2，连接AD，作AD的垂直平分线与x轴交于点K，平移抛物线，使抛物线的顶点C在射线BC上移动，平移的距离是t，平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点A′，点C′，连接A′C′，A′K，C′K，A′C′K是否能为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）点R坐标为（，0）， ；（2）存在，t的值为或.

【解析】

（1）首先求出B、C两点坐标，即可确定直线BC的解析式，求出FG的解析式即可求出点G的坐标，如图1中，过点G作y轴的平行线，过F作x轴的平行线交于点K，连接PK．设P（m，），因为BC∥FG，FG是定值，所以△EFG的面积是定值，所以△PFG的面积最大时，△PEF的面积最大，构建二次函数，利用二次函数的性质求出点P坐标，作P关于x轴的对称点P′，连接P′C交x轴于R，此时CR＋RP最小，由此即可解决问题．

（2）分三种情形讨论即可：①当KA′＝A′C′时，②当C′A′＝C′K时，③当KA′＝KC′时，分别列出方程求解即可．

解：（1）对于抛物线，另y=0得到，

解得：或，

∴点B坐标为（，0），

∵，

∴顶点C的坐标为：（，4），

设直线BC解析式为y=kx+b，

则，解得：，

∴直线BC解析式为：，

将F的横坐标代入抛物线解析式可得：F（，－5），

∵FG//BC，

∴直线FG解析式为：，

令y=0得到，

∴点G坐标为：（），

如图1中，过点G作y轴的平行线，过F作x轴的平行线交于点K，连接PK．

设P（m，），

∵BC∥FG，FG是定值，

∴△EFG的面积是定值，

∴△PFG的面积最大时，△PEF的面积最大，

∵S△PFG=S△PGK+S△PFK-S△FGK=

，

∵＜0，

∴m=时，△PFG的面积最大，即△PEF的面积最大，

∴P（，3），

作P关于x轴的对称点P′（，-3），连接P′C交x轴于R，此时CR+RP最小，

最小值=CP′=，

设直线P′C的解析式为：，

则，解得：

∴直线P′C的解析式为，

当y=0时，，

∴点R坐标为（，0）；

（2）如图2中，连接DK，DA，

∵A（），D（0，3），

∴OA=，DO=3，

∴tan∠DAO=，

∴∠DAO=60°，

∵KA=KD，

∴△ADK是等边三角形，

∴AD=AK=，K（，），

①∵A（，0），C（，4），

∴AC=，

当KA′=A′C′=AC=时，

∵AA′=t，tan∠A′AM=tan∠ABC=，

∴sin∠A′AM=sin∠ABC=，

∴A′M=，AM=，

在Rt△A′MK中，A′K2＝A′M2+KM2＝+()2，

∴+()2＝()2，

解得：或（舍去）；

②如图3，当C′A′= C′K时，连接CK，作KM⊥BC于M，

在Rt△BCK中，

∵，

∴，

∴，

∴C′K2＝KM2+ C′M2＝，

∴，

解得：或（舍去）；

③当KA′= KC′时，+()2＝，

解得：（舍去），

综上所述，当△A′C′K为等腰三角形时，t的值为或.