Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若P为线段AB上一点，，求AP的长；

（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，点N的坐标为(，3) 或(，)

【解析】

（1）利用直线与y轴的交点求得点B的坐标，然后把点B、C的坐标代入，即可求解；

（2）先求得点A的坐标，证得△PAO△CAB，利用对应边成比例即可求解；

（3）分点N在AB的上方或下方两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质，利用三角形全等，即可求解．

（1）令，则，

∴点B的坐标为(0，3)，

抛物线经过点B (0，3)，C (1，0)，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为：；

（2）令，则，

解得：，

∴点A的坐标为(，0)，

∴OA=3，OB=3，OC=1，

，

∵，且，

∴△PAO△CAB，

∴，即，

∴；

（3）存在，

过点P作PD⊥x轴于点D，

∵OA=3，OB=3，∠AOB=，

∴∠BAO=∠ABO=，

∴△PAD为等腰直角三角形，

∵，

∴PD=AD=2，

∴点P的坐标为(，2)，

当N在AB的上方时，过点N作NE⊥y轴于点E，如图，

∵四边形APMN为平行四边形，

∴NM∥AP，NM=AP=，

∴∠NME=∠ABO=，

∴△NME为等腰直角三角形，

∴Rt△NMERt△APD，

∴NE=AD=2，

当时，，

∴点N的坐标为(，3)，

当N在AB的下方时，过点N作NF⊥y轴于点F，如图，

同理可得：Rt△NMFRt△APD，

∴NF=AD=2，

当时，，

∴点N的坐标为(，)，

综上，点N的坐标为(，3) 或(，) ．