Question

如图，抛物线y=x²-2x-3与直线y=-x+b交于A，C两点，与x轴交于点A，B．点P为直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作PN⊥AB交AC与点M，垂足为N，连接AP，CP．设点P的横坐标为m．
（1）求b的值；
（2）用含m的代数式表示PM的长，并求使得△APC面积最大时，点P的坐标；
（3）是否存在点P，使得△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）抛物线解析式令y=0求出方程的解，确定出A与B坐标，把A坐标代入直线解析式求出b的值即可；
（2）把P横坐标m代入抛物线解析式表示出NP，代入直线解析式表示出MN，由NP-MN表示出MP，过C作CE垂直于x轴，三角形APC面积=三角形AMP面积+三角形CMP面积，根据AE为定值，得到MP最大时，三角形APC面积最大，利用二次函数的性质求出此时m的值，进而确定出P坐标；
（3）分三种情况考虑：MC=PC；MP=MC；PM=PC时，分别求出满足题意P的坐标即可．

解答：解：（1）令x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，即A=（-1，0），B（3，0），
把A（-1，0）代入y=-x+b，得b=-1，
则一次函数解析式为y=-x-1；
（2）把x=m代入抛物线解析式得：y=m²-2m-3；代入直线解析式得：y=-m-1，
∴NP=-（m²-2m-3），MN=-（-m-1），
∴MP=NP-NM=-（m²-2m-3）+（-m-1）=-m²+m+2（-1＜m＜2），
作CE⊥AB于点E，则S_△APC=S_△AMP+S_△CMP=

1

2

MP•AN+

1

2

MP•NE=

1

2

MP•AE，
∵AE为定值，∴MP取最大值时，△APC面积最大，
∵-1＜0，
∴当m=-

b

2a

=

1

2

时，△APC面积最大，此时P（

1

2

，-

15

4

）；
（3）分三种情况考虑：当P为抛物线顶点，即MC=PC时，坐标为P₁（1，-4）；
当P为C关于抛物线对称轴对称的点，即MP=MC时，P₂（0，-3）；
当P为MC的垂直平分线上点，即PM=PC时，P₃（

2

-1，2-4

2

）．

点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数与x轴的交点，一次函数与二次函数图象的交点，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．