Question

（2¹+1）×（2²+1）×（2³+1）×…×（2²⁰¹³+1）的后三位数是

 

．

Answer 1

考点：尾数特征

专题：

分析：先计算出括号中的数，再算出各数与后一位数的乘积，找出规律即可．

解答：解：∵2¹+1=3，2²+1=5，2³+1=9，2⁴+1=17，2⁵+1=33，2⁶+1=65，2⁷+1=129…（2²⁰¹³+1），
∴3×5=15，15×9=135，135×17=2295，2295×33=75735，75735×65=4922775，4922775×129后三位是975，975×257的结果后三位是575，575×513的结果后三位是975，975×1025的结果后三位是375，以次类推，后三位均为375，…×（2²⁰¹³+1），
∴后三位数分别为135，295，375，295，735，775，975，575，975，375，375，375，375…，375．
∴该式的后三位数是375．
故答案为：375．
另一解法：
∵原式只求后三位，原式是相乘，且有2013项，
∴只看每一项的最后一位，
故原式的每一项最后一位乘积为：3×5×7×9×…×3×5×7×9×3，
∵2013÷4=503…1，
∴每一项的最后一位可看为

3，5，7，9

503个

×3，①
 同理，只看①中的最后一位，
∵3×5×7×9=945，
∴①中可看为

5×5×5…×5

503个

×3，
根据计算可知
5×5=25，
5×5×5=125，
5×5×5×5=625，
5×5×5×5×5=3125，
5×5×5×5×5×5=15625，
…
尾数的规律是：25，125，625，125，625…
故（503-2）÷2=250…1
故①中最后尾数为125，
即原式=125×3=375．

点评：本题考查的是尾数的特征，根据题意分别计算出各数，找出规律是解答此题的关键．