Question

已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．

（1）求证：△ADE∽△CDF；

（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．

Answer 1

（1）证明：∵CD是⊙O的直径，

∴∠DFC=90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，AD∥BC，AB∥CD，

∴∠ADF=∠DFC=90°，

∵DE为⊙O的切线，

∴DE⊥DC，

∴DE⊥AB，

∴∠DEA=∠DFC=90°，

∵∠A=∠C，

∴△ADE∽△CDF；

（2）解：∵CF：FB=1：2，

∴设CF=x，FB=2x，则BC=3x，

∵AE=3EB，

∴设EB=y，则AE=3y，AB=4y，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=3x，AB=DC=4y，

∵△ADE∽△CDF，

∴=，

∴=，

∵x、y均为正数，

∴x=2y，

∴BC=6y，CF=2y，

在Rt△DFC中，∠DFC=90°，

由勾股定理得：DF===2y，

∴⊙O的面积为π•（DC）²=π•DC²=π（4y）²=4πy²，

四边形ABCD的面积为BC•DF=6y•2y=12y²，

∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy²：12y²=π：3．