Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求证：AO=AM；

（3）探究：

①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；

②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．

Answer 1

【答案】解：（1）y=x2﹣1

（2）详见解析

（3）详见解析

【解析】

（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解。

（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证。

（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入计算即可得解；

②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x12，并求出x12+x22，x12x22，然后代入进行计算即可得解。

解：（1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），

∴，解得。

∴抛物线的解析式为y=x2﹣1。

（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），

则。

∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2。

∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1。

∴AO=AM。

（3）①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，

∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，

∴。

②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），

则。

联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，

由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16k2+8，x12x22=16。

∴。

∴无论k取何值，的值都等于同一个常数1。