Question

【题目】已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系是 ；

（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

Answer 1

【答案】（1）AE∥BF，QE=QF；（2）QE=QF；见解析（3）QE=QF．见解析

【解析】

试题分析：（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；

（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；

（3）延长EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．

解：（1）如图1，

当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，

理由是：∵Q为AB的中点，

∴AQ=BQ，

∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，

∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，

在△AEQ和△BFQ中

∴△AEQ≌△BFQ，

∴QE=QF，

故答案为：AE∥BF，QE=QF；

（2）

QE=QF，

证明：延长EQ交BF于D，

∵由（1）知：AE∥BF，

∴∠AEQ=∠BDQ，

在△AEQ和△BDQ中

∴△AEQ≌△BDQ，

∴EQ=DQ，

∵∠BFE=90°，

∴QE=QF；

（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，

证明：延长EQ交FB于D，如图3，

∵由（1）知：AE∥BF，

∴∠AEQ=∠BDQ，

在△AEQ和△BDQ中

∴△AEQ≌△BDQ，

∴EQ=DQ，

∵∠BFE=90°，

∴QE=QF．