Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与x轴相交于点A（－3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y=的图象交点为C（m，4）求：

（1）一次函数y=kx+b的解析式；

（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，直接写出点D的坐标.

（3）在x轴上求一点P使△POC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

（1）;

（2）（-2，5）或（-5，3）．

（3）（5，0）或（-5，0）或（6，0）或（，0）．

【解析】

分析：（1）首先利用待定系数法把C（m，4）代入正比例函数y=中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数y=kx+b中，计算出k、b的值，进而得到一次函数解析式．

（2）利用△BED₁≌△AOB，△BED2≌△AOB，即可得出点D的坐标．

解：（1）∵点C在正比例函数图像上  ∴， 

∵点C（3,4）A（—3,0）在一次函数图像上，

∴

解这个方程组得  

∴一次函数的解析式为      

（2）过点D₁作D₁E⊥y轴于点E，过点D₂作D₂F⊥x轴于点F，

∵点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，∴AB=BD₁，

∵∠D₁BE+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠EBD₁，

∵在△BED₁和△AOB中，

∴△BED₁≌△AOB（AAS），

∴BE=AO=3，D₁E=BO=2，

即可得出点D的坐标为（-2，5）；

同理可得出：△AFD₂≌△AOB，

∴FA=BO=2，D₂F=AO=3，

∴点D的坐标为（-5，3）．

综上所述：点D的坐标为（-2，5）或（-5，3）．                

（3）当OC是腰，O是顶角的顶点时，OP=OC=5，则P的坐标是（5，0）或（-5，0）；

当OC是腰，C是顶角的顶点时，CP=CO，则P与O关于x=3对称，则P的坐标是（6，0）．

当OC是底边时，设P的坐标是（a，0），则

则P的坐标是：（5，0）或（-5，0）或（6，0）或（，0）．

【难度】困难