Question

10．探索与运用：

（1）基本图形：如图①，已知OC是∠AOB的角平分线，DE∥OB，分别交OA、OC于点D、E．求证：DE=OD；    
（2）在图②中找出这样的基本图形，并利用（1）中的规律解决这个问题：已知△ABC中，两个内角∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，交AB、AC于点D、E．求证：DE=BD+CE；
（3）若将图②中两个内角的角平分线改为一个内角（如图③，∠ABC）、一个外角（∠ACF）和两个都是外角（如图④∠DBC、∠BCE）的角平分线，其它条件不变，则线段DE、BD、CE的数量关系分别是：图③为DE=BD-CE、图④为DE=BD+CE：并从中任选一个结论证明．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义得到∠AOC=∠BOC，根据平行线的性质得到∠DEO=∠BOC，等量代换得到∠DEO=AOC，根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O．求证∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠BCO，再利用两直线平行内错角相等，求证出∠DOB=∠DBO，∠COE=∠BCO，即BD=DO，OE=CE，然后利用等量代换即可求出结论；
（3）选③证明：由（1）中证明可得：DB=DO，EO=EC，根据线段的和差即可得到结论

解答 证明：（1）∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵DE∥OB，
∴∠DEO=∠BOC，
∴∠DEO=AOC，
∴DE=OD；

（2）∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠BCO，
∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DOB=∠DBO，∠COE=∠ECO，
∴BD=DO，OE=CE，
∴DE=BD+CE；

（3）图③：DE=BD-CE，图④：DE=BD+CE，
选③证明：
由（1）中证明可得：DB=DO，EO=EC，
∴DE=OD=OE=DB-CE．
故答案为：DE=BD-CE，DE=BD+CE．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．