Question

19．小刚在实践课上要做一个如图1所示的折扇，折扇扇面的宽度AB是骨柄长OA的$\frac{3}{4}$，折扇张开的角度为120°．小刚现要在如图2所示的矩形布料上剪下扇面，且扇面不能拼接，已知矩形布料长为24$\sqrt{3}$cm，宽为21cm．小刚经过画图、计算，在矩形布料上裁剪下了最大的扇面，若不计裁剪和粘贴时的损耗，此时扇面的宽度AB为（　　）

• A． 21cm
• B． 20 cm
• C． 19cm
• D． 18cm

Answer 1

分析 根据题意得出在矩形布料上裁剪下了最大的扇面时对应位置关系，进而结合直角三角形的性质求出BO，AB的长．

解答 解：如图所示：由题意可得：当在矩形布料上裁剪下了最大的扇面，此时扇形与矩形的边长相切，切点为E，
过点O作OF⊥CB，于点F，
则∠ABC=∠OBF=30°，OF=$\frac{1}{2}$BO，AC=$\frac{1}{2}$AB，
设FO=xcm，则BF=$\sqrt{3}$xcm，BO=2xcm，
∵折扇扇面的宽度AB是骨柄长OA的$\frac{3}{4}$，
∴AB=6xcm，
故AC=3xcm，BC=3$\sqrt{3}$xcm，
故2×（$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$x）=24$\sqrt{3}$，
解得：x=3，
故AB=6x=18（cm），
故选：D．

点评 此题主要考查了直角三角形的性质以及扇形面积，正确得出扇形与矩形的关系是解题关键．