Question

5．如图，已知∠A=n°，若P₁点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，P₂点是∠P₁BC和外角∠P₁CE的角平分线的交点，P₃点是∠P₂BC和外角∠P₂CE的交点…依此类推，则∠P_n=（　　）

• A． $\frac{n°}{2n}$
• B． $\frac{n°}{2^n}$
• C． $\frac{n°}{{{2^{n-1}}}}$
• D． $\frac{n°}{2（n-1）}$

Answer 1

分析 易求得∠P₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠P₁CE=$\frac{1}{2}$∠ACE，再根据∠ACE=∠A+∠ABC，∠P₁CE=∠P₁+∠P₁BC，即可求得∠P₁=$\frac{1}{2}$∠A，即可解题；根据∠P₁=$\frac{1}{2}$∠A，易证∠BP₂C=$\frac{1}{2}$∠BPC，∠BP₃C=$\frac{1}{2}$∠BP₂C，即可发现规律∠BP_nC=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A，即可解题．

解答 解：∵BP₁平分∠ABC，CP₁平分∠ACE，
∴∠P₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠P₁CE=$\frac{1}{2}$∠ACE，
∵∠ACE=∠A+∠ABC，∠P₁CE=∠P₁+∠P₁BC，
∴∠P₁=$\frac{1}{2}$∠A，同理∠BP₂C=$\frac{1}{2}$∠BP₁C，
∠BP₃C=$\frac{1}{2}$∠BP₂C，
由此可发现规律∠BP_nC=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A=$\frac{n°}{{2}^{n}}$．
故选B．

点评 本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角和的性质，考查了角平分线的性质，本题中求得∠P₁=$\frac{1}{2}$∠A是解题的关键．