Question

14．如图，△ABC中，∠C=90°．
（1）用尺规作图作AB边上的高CD．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）求证：∠BCD=∠A．

Answer 1

分析 （1）首先以C为圆心，任意长为半径画弧，交AB于E、F，在分别以E、F为圆心，大于$\frac{1}{2}$EF长为半径画弧，两弧交于点N，再作射线CN，交AB于D，CD就是AB上的高；
（2）根据条件可得∠BCD+∠ACD=90°，再由直角三角形两锐角互余可得∠A+∠ACD=90°，然后根据同角的余角相等可得结论．

解答 （1）解：如图所示：


（2）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵CD是AB上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD．

点评 此题主要考查了复杂作图，余角的性质，关键是掌握三角形高的定义，以及同角的余角相等．