Question

4．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：∠BCP=$\frac{1}{2}$∠BAC；
（2）若$\frac{BP}{BC}$=$\frac{3}{4}$，求$\frac{AN}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理得出∠ANC=90°，得出∠NAC+∠ACN=90°，由等腰三角形的性质得出∠BAN=∠CAN=$\frac{1}{2}$∠BAC，由切线的性质得出∠ACN+∠PCB=90°，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，由圆内接四边形的性质得出∠PBC=∠AMN，证出△BPC∽△MNA，由相似三角形的性质即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠NAC+∠ACN=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAN=∠CAN=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠ACP=90°，
∴∠ACN+∠PCB=90°，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠BCP=$\frac{1}{2}$∠BAC；
（2）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=90°，
∴∠PBC=∠AMN，
由（1）知，∠BCP=∠BAN，
∴△BPC∽△MNA，
∴$\frac{PB}{MN}=\frac{BC}{AM}=\frac{PC}{AN}$，
∴$\frac{PB}{BC}=\frac{MN}{AM}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{AN}{PC}$=$\frac{AM}{BC}$，
∵AB=AC，AN⊥BC，
∴BN=NC，
又∵∠NMB=∠ACB=∠ABC，
∴BN=MN，
∴$\frac{AM}{BC}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，∴$\frac{AN}{PC}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．