Question

5．如图1，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D，
（1）判断BC与MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=8，BE=2，求线段CD的长；
（3）如图2，若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．

Answer 1

分析 （1）BC与MD平行，理由为：在圆O中，利用同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证；
（2）连接OD，如图1所示，由AE+BE求出AB的长，即为圆的直径，求出半径OD的长，由AB垂直于CD，利用垂径定理及勾股定理求出DE的长，根据CD=2ED求出CD的长即可；
（3）连接MC，如图2所示，由AB为圆的直径，AB垂直于CD，利用垂径定理得到B为$\widehat{CD}$中点，再由已知角相等，利用圆周角定理得到∠CMB=∠BMD=∠D，由MD为直径，得到MC垂直于CD，利用直角三角形的性质确定出∠D的度数．

解答 解：（1）BC∥MD，理由为：
证明：∵在⊙O中，∠CBM=∠D，且∠M=∠D，
∴∠M=∠CBM，
∴BC∥MD；
（2）连结OD，如图1所示，
∵AE=8，BE=2，
∴直径AB=10，
∴OD=5，
∴OE=OB-BE=5-2=3，
又∵CD⊥AB，
∴DE=$\sqrt{O{D}^{2}-O{E}^{2}}$=4，
又∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CD=2DE=8；
（3）连结MC，如图2所示，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴$\widehat{CB}$=$\widehat{BD}$，
∴∠CMB=∠BMD=∠D，
又∵MD过圆心，
∴∠MCD=90°，
∴∠D+∠CMB+∠BMD=90°，
∴∠D=30°．

点评 此题属于圆的综合题，涉及的知识有：平行线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．