如图.△ABC中.∠ACB=90°.AC=6cm.BC=8cm．点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动.终点为B点,点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动.终点为A点．点P和Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动.两点都要到相应的终点时才能停止运动．(1)出发2秒后.求PQ的长,(2)当点Q在边BC上运动时.直线PQ能否把原三角形的周长分成相等的两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，直线PQ能否把原三角形的周长分成相等的两部分？若能，请求出运动时间；若不能，请说明理由．
（3）在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由．

分析（1）求出CP和CQ，根据勾股定理求出即可；
（2）求出斜边AB，求出周长，即可得出方程，求出方程的解即可；
（3）此题分两种情况：①PC=QC时，△PEC与△QFC全等，②点P与点Q重合，△PEC与△QFC全等，然后计算出t的值即可．

解答解：（1）如图1，
AP=2×1=2（cm），BQ=2×2=4（cm），
CP=6cm-2cm=4cm，CQ=8cm-4cm=4cm
PQ=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$（cm）；

（2）直线PQ能把原三角形的周长分成相等的两部分，设此时时间为t秒，
理由是：由勾股定理得：AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10（cm），
即△ABC的周长为6cm+8cm+10cm，
∵PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴6-t+8-2t=12，
解得：t=$\frac{2}{3}$，
即当t=$\frac{2}{3}$秒时，直线PQ把原三角形的周长分成相等的两部分；

（3）如图2，
∵△PEC与△QFC全等，
∴PC=QC．
∴6-t=8-2t．
解得：t=2；
如图3，
∵点P与点Q重合，
∴△PEC与△QFC全等，
∴6-t=2t-8．
解得：t=$\frac{14}{3}$．
综上所述：点P运动时间为2秒或$\frac{14}{3}$秒时，△PEC与△QFC全等．

点评此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，能正确根据定理进行计算是解此题的关键，注意：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

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