Question

12．等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P．
（1）运动几秒后，△ADE为直角三角形？
（2）在点D、E运动时，线段PD与线段PE相等吗？如果相等，给以证明；如不相等，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质和直角三角形的性质求出∠AED=30°，根据直角三角形的性质列出关系式，计算即可；
（2）过D点作DH∥AF交BC于点H，证明△DGP≌△EBP，根据全等三角形的性质定理证明即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
△ADE为直角三角形时，∠ADE=90°，
则∠AED=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE，即4-0.5t=$\frac{1}{2}$（4+0.5t），
t=$\frac{8}{3}$，
答：运动$\frac{8}{3}$秒后，△ADE为直角三角形；
（2）PD=PE．
证明：过D点作DH∥AF交BC于点H，
则△CDH为等边三角形，∠HDP=∠PEB，
∴DH=DC，又DC=BE，
∴DH=BE，
在△DGP和△EBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HDP=∠BEP}\\{∠DPH=∠EPB}\\{DH=BE}\end{array}\right.$，
∴△DGP≌△EBP，
∴PD=PE．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握三角形全等是判判定定理、平行线的性质、等边三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．