【题目】(1)如图1,在△ABC中,AB>AC,点D,E分别在边AB,AC上,且DE∥BC,若AD=2,AE=,则的值是 ;
(2)如图2,在(1)的条件下,将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度,连接CE和BD,的值变化吗?若变化,请说明理由;若不变化,请求出不变的值;
(3)如图3,在四边形ABCD中,AC⊥BC于点C,∠BAC=∠ADC=θ,且tanθ=,当CD=6,AD=3时,请直接写出线段BD的长度.
【答案】(1);(2)的值不变化,值为,理由见解析;(3)
【解析】
(1)由平行线分线段成比例定理即可得出答案;
(2)证明△ABD∽△ACE,得出==
(3)作AE⊥CD于E,DM⊥AC于M,DN⊥BC于N,则DM=CN,DN=MC,由三角函数定义得出=,=,得出=,求出AE=AD=,DE=AE=,得出CE=CD﹣DE=,由勾股定理得出AC==,得出BC=AC=
,由面积法求出CN=DM=,得出BN=BC+CN=,由勾股定理得出AM==,得出DN=MC=AM+AC=,再由勾股定理即可得出答案.
(1)∵DE∥BC,
∴===;
故答案为:;
(2)的值不变化,值为;理由如下:
由(1)得:DE∥B,
∴△ADE∽△ABC,
∴=,
由旋转的性质得:∠BAD=∠CAE,
∴△ABD∽△ACE,
∴==;
(3)作AE⊥CD于E,DM⊥AC于M,DN⊥BC于N,如图3所示:
则四边形DMCN是矩形,
∴DM=CN,DN=MC,
∵∠BAC=∠ADC=θ,且tanθ=,
∴=,=,
∴=,
∴AE=AD=×3=,DE=AE=,
∴CE=CD﹣DE=6﹣=,
∴AC===
∴BC=AC=,
∵△ACD的面积=AC×DM=CD×AE,
∴CN=DM==,
∴BN=BC+CN=,AM===,
∴DN=MC=AM+AC=,
∴BD===.
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【题目】如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点E、F分别在边AB、AC上,将△AEF沿直线EF折叠,使点A的对应点D恰好落在边BC上.若△BDE是直角三角形,则CF的长为______.
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【题目】在矩形ABCD中,BC=10cm、DC=6cm,点E、F分别为边AB、BC上的两个动点,E从点A出发以每秒5cm的速度向B运动,F从点B出发以每秒3cm的速度向C运动,设运动时间为t秒.若∠AFD=∠AED,则t的值_____.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣(x﹣m)2+4(m>0)的顶点为A,与直线x=相交于点B,点A关于直线x=的对称点为C.
(1)若抛物线y=﹣(x﹣m)2+4(m>0)经过原点,求m的值.
(2)点C的坐标为 .用含m的代数式表示点B到直线AC的距离为 .
(3)将y=﹣(x﹣m)2+4(m>0,且x≥)的函数图象记为图象G,图象G关于直线x=的对称图象记为图象H.图象G与图象H组合成的图象记为图象M.
①当图象M与x轴恰好有三个交点时,求m的值.
②当△ABC为等腰直角三角形时,直接写出图象M所对应的函数值小于0时,自变量x的取值范围.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向终点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向终点C以2cm/s的速度移动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止.点P,Q分别从点A,B同时出发.
(1)求出发多少秒时PQ的长度等于5cm;
(2)出发 秒时,△BPQ中有一个角与∠A相等.
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【题目】如图,在直角中,,的垂直平分线交于点,交于点,交于点,连接、.
(1)求证:;
(2)求证:四边形是菱形.
(3)当满足什么条件时,四边形是正方形,请说明理由.
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【题目】如图,抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C,对称轴为直线x=1,且经过点A(3,-1),与y轴交于点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)经过点A的直线交抛物线于点P,交x轴于点Q,若S△OPA=2S△OQA,试求出点P的坐标.
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【题目】如图,函数的图象经过原点,开口向上,对称轴为直线,对于下列两个结论:①m为任意实数,则有;②方程有两个不相等的实数根,一个根小于0,另一个根大于2,说法正确的是( )
A.①对,②错B.①错,②对C.①②都对D.①②都错
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【题目】据报道,从2018年8月以来“非洲猪瘟”给生猪养殖户带来了不可估量的损失,某养殖户为了预防“非洲猪瘟”的侵袭,每天对猪场进行药熏消毒,已知一瓶药物释放过程中,一个圈舍内每立方米空气中含药量y(毫克)与时间x(分钟)之间满足正比例函数关系;药物释放完后,y与x之间满足反比例函数关系,如图所示,结合图中提供的信息解答下列问题.
(1)分别求当和时,y与x之间满足的函数关系式;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量不低于6毫克时,消毒才有效,那么这次熏药的有效消毒时间是多少分钟?
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