Question

【题目】已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一直线上，AB＝EF＝6cm，BC＝FP＝8cm，∠EFP＝90°，如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点G，与BD交于点K；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，PQ，当点Q停止运动时，△EFP也停止运动设运动事件为（s）（0＜t＜6），解答下列问题：

（1）当为何值时，PQ∥BD？

（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使S五边形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

（3）在运动过程中，当t为　 　秒时，PQ⊥PE．

Answer 1

【答案】（1）（2）t＝2s时，S五边形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8（3）

【解析】

（1）利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题．

（2）假设存在，由S五边形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8构建方程即可解决问题．

（3）利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．

解：（1）∵PQ∥BD，

∴，

∴，

解得t＝，

∴当t＝时，PQ∥BD．

（2）假设存在．

∵S五边形AFPQM＝S△ABF+S矩形ABCD﹣S△PQC﹣S△MQD

＝×（8﹣t）×6+6×8﹣（8﹣t）×t﹣×（6﹣t）×（6﹣t）

＝．

又∵S五边形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8，

∴：48＝9：8，

整理得：t2﹣20t+36＝0，

解得t＝2或18（舍弃），

∴t＝2s时，S五边形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8．

（3）∵PQ⊥PE，

∴∠QPE＝90°，

∵∠EFP＝∠C＝90°，

∴∠EPF+∠QPC＝90°，∠QPC+∠PQC＝90°，

∴∠EPF＝∠PQC，

∴△EPF∽△PQC，

∴，

∴，

解得t＝，

∴当t＝时，PQ⊥PE．

故答案为．