Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，∠EAD＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，连接EF．

（1）求证：EF＝ED；

（2）若AB＝2，CD＝1，求FE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）EF＝.

【解析】

（1）由旋转的性质可求∠FAE＝∠DAE＝45°，即可证△AEF≌△AED，可得EF＝ED；

（2）由旋转的性质可证∠FBE＝90°，利用勾股定理和方程的思想可求EF的长．

（1）∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，

∴∠BAE+∠DAC＝45°，

∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，

∴∠BAF＝∠DAC，AF＝AD，CD＝BF，∠ABF＝∠ACD＝45°，

∴∠BAF+∠BAE＝45°＝∠FAE，

∴∠FAE＝∠DAE，AD＝AF，AE＝AE，

∴△AEF≌△AED（SAS），

∴DE＝EF

（2）∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，

∴BC＝4，

∵CD＝1，

∴BF＝1，BD＝3，即BE+DE＝3，

∵∠ABF＝∠ABC＝45°，

∴∠EBF＝90°，

∴BF2+BE2＝EF2，

∴1+（3﹣EF）2＝EF2，

∴EF＝