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【题目】如图,矩形ABCD中,BC8,点FAB边上一点(不与点B重合)△BCF的外接圆交对角线BD于点E,连结CFBD于点G

1)求证:∠ECG=∠BDC

2)当AB6时,在点F的整个运动过程中.

BF2时,求CE的长.

当△CEG为等腰三角形时,求所有满足条件的BE的长.

3)过点E作△BCF外接圆的切线交AD于点P.若PECFCF6PE,记△DEP的面积为S1,△CDE的面积为S2,请直接写出的值.

【答案】(1)详见解析;(2)①;②BE10时,△CEG为等腰三角形;(3.

【解析】

1)根据平行线的性质得出∠ABD=∠BDC,根据圆周角定理得出∠ABD=∠ECG,即可证得结论;

2)根据勾股定理求得BD10

①连接EF,根据圆周角定理得出∠CEF=∠BCD90°,∠EFC=∠CBD.即可得出sinEFCsinCBD,得出,根据勾股定理得到CF,即可求得CE

②分三种情况讨论求得:

EGCG时,根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到∠GEC=∠GCE=∠ABD=∠BDC,从而证得ED重合,即可得到BEBD10

GECE时,过点CCHBD于点H,即可得到∠EGC=∠ECG=∠ABD=∠GDC,得到CGCD6.根据三角形面积公式求得CH,即可根据勾股定理求得GH,进而求得HE,即可求得BEBHHE

CGCE时,过点EEMCG于点M,由tanECM.设EM4k,则CM3kCGCE5k.得出GM2ktanGEM,即可得到tanGCH=.求得HEGH,即可得到BEBHHE

3)连接OEEFAEEF,先根据切线的性质和垂直平分线的性质得出EFCE,进而证得四边形ABCD是正方形,进一步证得ADE≌△CDE,通过证得EHP∽△FBC,得出EHBF,即可求得BF6,根据勾股定理求得CF10,得出PE,根据勾股定理求得PH,进而求得PD,然后根据三角形面积公式即可求得结果.

1)证明:∵ABCD

∴∠ABD=∠BDC

∵∠ABD=∠ECG

∴∠ECG=∠BDC

2)解:①∵ABCD6ADBC8

BD10

如图1,连结EF,则∠CEF=∠BCD90°

∵∠EFC=∠CBD

sinEFCsinCBD

CF

CE

②Ⅰ、当EGCG时,∠GEC=∠GCE=∠ABD=∠BDC

ED重合,

BEBD10

Ⅱ、如图2,当GECE时,过点CCHBD于点H

∴∠EGC=∠ECG=∠ABD=∠GDC

CGCD6

CH

GH

RtCEH中,设HEx,则x2+2=(x+2

解得x

BEBH+HE+

Ⅲ、如图2,当CGCE时,

过点EEMCG于点M

tanECM

EM4k,则CM3kCGCE5k

GM2ktanGEM

tanGCHtanGEM

HEGH

BEBH+HE

综上所述,当BE10时,CEG为等腰三角形;

3)解:∵∠ABC90°

FCBCF的外接圆的直径,设圆心为O

如图3,连接OEEFAEEF

PE是切线,

OEPE

PECF

OECF

OCOF

CEEF

∴△CEF是等腰直角三角形,

∴∠ECF45°EF=FC

∴∠ABD=∠ECF45°

∴∠ADB=∠BDC45°

ABAD8

∴四边形ABCD是正方形,

PEFC

∴∠EGF=∠PED

∴∠BGC=∠PED

∴∠BCF=∠DPE

EHADH,则EHDH

∵∠EHP=∠FBC90°

∴△EHP∽△FBC

EHBF

ADCD,∠ADE=∠CDE

∴△ADE≌△CDE

AECE

AEEF

AF2EHBF

BF+BF8

BF6

EHDH1CF10

PEFC

PH

PD

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