Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，O是CD的中点，延长AO交BC的延长线于点E，且BC＝CE．

（1）求证：△AOD≌△EOC；

（2）若∠BAE＝90°，AB＝6，OE＝4，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）AD＝5．

【解析】

（1）证△AOD≌△EOC，由条件推理可用AAS证明求解；

（2）求AD的长，由第（1）可知AD＝EC，求CE的长需求BE，BE可由勾股定理和三角形的中位线定理求得．

解：如图所示：

（1）∵AD∥BE，

∴∠DAE＝∠AEB，

又∵O是CD的中点，

∴CO＝DO，

在△AOD和△EOC中，

，

∴△AOD≌△EOC（AAS）．

（2）∵BC＝CE，AO＝EO

∴点C、O分别是BE和AE的中点，即CO是△ABE的中位线；

∵OE＝4，∴AE＝8，

又∵AB＝6，

∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：

，

CE＝BE﹣BC＝10﹣5＝5．

又∵AD＝EC

∴AD＝5．