Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．设运动时间为t秒．

（1）求证：△COA∽△AEB；

（2）设△BCD的面积为S当t为何值时，S＝；

（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y＝ax2﹣10ax的顶点在△ABM的内部（不包括边），求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）t＝3或3+5时；（3）.

【解析】

(1)根据∠CAO＝∠ABE，∠COA＝∠AEB＝90°，即可证明；

(2)求△BCD的面积时，可以CD为底、BD为高来解，那么表示出BD的长是关键；Rt△CAO∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长，进一步得到BD的长，在表达BD长时，应分两种情况考虑：①B在线段DE上，②B在ED的延长线上；

(3)首先将抛物线的解析式进行配方，可得到抛物线的顶点坐标，将其横坐标分别代入直线MB、AB的解析式中，可得到抛物线对称轴与这两条直线的交点坐标，根据这两个坐标即可判定出a的取值范围．

(1)∵∠CAO+∠BAE＝90°，∠ABE+∠BAE＝90°，

∴∠CAO＝∠ABE，

∵∠COA＝∠AEB＝90°，

∴△CAO∽△ABE；

(2)由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：BE＝，AE＝2．

当0＜t＜8时，S＝CDBD＝(2+t)(4﹣)＝，

∴t1＝t2＝3，

当t＞8时，S＝CDBD＝(2+t)(﹣4)＝，

∴t1＝3+5，t2＝3﹣5(为负数，舍去)，

当t＝3或3+5时，S＝；

(3)过M作MN⊥x轴于N，则MN＝CO＝2．

当MB∥OA时，BE＝span>MN＝2，OA＝2BE＝4，

抛物线y＝ax2﹣10ax的顶点坐标为(5，﹣25a)，

它的顶点在直线x＝5上移动，

直线x＝5交MB于点(5，2)，交AB于点(5，1)，

∴1＜﹣25a＜2，

∴．