Question

【题目】在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，点E为AD的中点，连接BE、BD，∠ABD＝90°．

（1）如图l，求证：四边形BCDE为菱形；

（2）如图2，连接AC交BD于点F，连接EF，若AC平分∠BAD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ABC面积的．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）△ABF，△AEF，△DEF，△DCF.

【解析】

（1）由题意可得DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；
（2）由题意可证△BFC∽△DFA，由相似三角形的性质可得，FD=2BF，由三角形的中线性质和菱形性质可求解．

证明（1）∵AD＝2BC，E为AD的中点，

∴DE＝BC，

∵AD∥BC，

∴四边形BCDE是平行四边形，

∵∠ABD＝90°，AE＝DE，

∴BE＝DE，

∴四边形BCDE是菱形．

（2）△ABF，△AEF，△DEF，△DCF，

理由如下：∵BC∥AD，

∴△BFC∽△DFA，

∴，

∴，FD＝2BF，

∴S△ABF＝S△ABC，

∵FD＝2BF

∴S△AFD＝2S△ABF，且点E是AD中点，

∴S△AEF＝S△EFD＝S△ABF＝S△ABC，

∵四边形BEDC是菱形，

∴ED＝CD，∠BDE＝∠BDC，且DF＝DF，

∴△DEF≌△DCF（SAS），

∴S△DCF＝S△DEF＝S△ABF＝S△ABC.