【题目】如图,已知直线与轴和轴分别交于点和点抛物线经过点与直线的另一个交点为.
求的值和抛物线的解析式
点在抛物线上,轴交直线于点点在直线上,且四边形为矩形.设点的横坐标为矩形的周长为求与的函数关系式以及的最大值
将绕平面内某点逆时针旋转得到(点分别与点对应),若的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点的坐标.
【答案】(1)n=2,;(2),当时,有最大值;(3)点的坐标为或
【解析】
(1)把点B坐标代入直线解析式求出m的值,再把点C坐标代入直线解析式即可求出n的值,然后利用待定系数法求出二次函数解析式;
(2)求出点A坐标,从而得到OA、OB长度,利用勾股定理求出AB,证明解直角三角形用DE表示出EF、DF,根据矩形周长公式表示p,利用直线和抛物线解析式表示出DE的长,整理即可的p与t的函数关系式,再利用二次函数性质求出p的最大值;
(3)将绕平面内某点逆时针旋转,可得A1O1y轴,B1O1x轴,可得两种情况.当B1、O1在抛物线上时,根据B1O1=1,利用抛物线对称性,求出O1横坐标,进而求出A1坐标;当在抛物线上时,表示出A1,O1坐标,由A1O1=,从而求得A1坐标
解:直线经过点
直线的解析式为
直线经过点
.
抛物线经过点和点,
解得
抛物线的解析式为
直线与轴交于点
轴,
.
又,
点在抛物线上,点的横坐标为
,且
当时,有最大值
点的坐标为或
绕平面内某点逆时针旋转得到(点分别与点对应),且的两个顶点恰好落在抛物线上,
存在顶点落在抛物线上或顶点落在抛物线上两种可能的情况.
点恰好都落在抛物线上时,如图1,
则轴,轴,
点关于抛物线的对称轴对称
抛物线的对称轴为直线
,
点的横坐标为
当时,
,
点的纵坐标为
当点恰好都落在抛物线上时,如图2.
设
,
点在抛物线上,
解得
综上,点的坐标为或
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【题目】随着近几年城市建设的快速发展.某市对花木的需求量逐年提高,某园林专业户计划投资15万元种植花卉和树木.根据市场调查与预测,种植树木的利润y1(万元)与投资量x(万元)成正比例关系,如图①所示;种植花卉的利润y2(万元)与投资量x(万元)的函数关系如图②所示(其中OA是抛物线的一部分,A为抛物线的顶点;AB//x轴)。
(1)求出y1和y2关于投资量x的函数关系式
(2)求此专业户种植花卉和树木获取的总利润W(万元)关于投入种植花卉的资金t(万元)之间的函数关系式:
(3)此专业户投入种植花卉的资金为多少万元时,才能使获取的利润最大,最大利润是多少?
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【题目】某公司计划购买、两种型号的机器人搬运材料,已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料,且型机器人搬运的材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同.
(1)求、两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料?
(2)该公司计划采购、两种型号的机器人共台,要求每小时搬运的材料不得少于,则至少购进型机器人多少台?
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交弧AC于点D,过点D作⊙O的切线,交BA的延长线于点E.
(1)求证:AC∥DE;
(2)连接AD、CD、OC.填空
①当∠OAC的度数为 时,四边形AOCD为菱形;
②当OA=AE=2时,四边形ACDE的面积为 .
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【题目】记:P1=﹣2,P2=(﹣2)×(﹣2),P3=(﹣2)×(﹣2)×(﹣2),…,.
(1)计算P7÷P8的值;
(2)计算2P2019+P2020的值;
(3)猜想2Pn与Pn+1的关系,并说明理由.
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【题目】某店代理某品牌商品的销售.已知该品牌商品进价每件40元,日销售y(件)与销售价x(元/件)之间的关系如图所示(实线),付员工的工资每人每天100元,每天还应支付其它费用150元.
(1)求日销售y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式;
(2)该店员工人共3人,若某天收支恰好平衡(收入=支出),求当天的销售价是多少?
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【题目】为了了解学生对“预防新型冠状病毒”知识的掌握情况,学校组织了一次线上知识培训,培训结束后进行测试,在全校2000名学生中,分别抽取了男生,女生各15份成绩,整理分析过程如下,请补充完整.
(收集数据)
15名男生测试成绩统计如下:(满分100分)78,90,99,93,92,95,94,100,90,85,86,95,75,88,90
15名女生测试成绩统计如下:(满分100分)77,82,83,86,90,90,92,91,93,92,92,92,92,98,100
(整理、描述数据)
70.5~75.5 | 75.5~80.5 | 80.5~85.5 | 85.5~90.5 | 90.5~95.5 | 95.5~100.5 | |
男生 | 1 | 1 | 1 | 5 | 5 | 2 |
女生 | 0 | 1 | 2 | 3 | 7 | 2 |
(分析数据)
(1)两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示:
性别 | 平均数 | 众数 | 中位数 | 方差 |
男生 | 90 | 90 | 90 | 44.9 |
女生 | 90 | 32.8 |
在表中:________.________;
(2)若规定得分在80分以上(不含80分)为合格,请估计全校学生中“预防新型冠状病毒”知识测试合格的学生有多少人?
(3)通过数据分析得到的结论,你认为男生和女生中谁的成绩比较好?请说明理由.
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【题目】某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴趣小组,要求每人必须参加,并且只能选择其中一个小组,为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况,学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出),请你根据给出的信息解答下列问题:
(1)求参加这次问卷调查的学生人数,并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据);
(2)m=_______,n=_______;
(3)若该校共有1200名学生,试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人?
(4)分别用A、B、C、D表示“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”,小明和小红从中各选取一个小组,请用树状图法或列表法求出“两人选择小组不同”的概率.
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【题目】在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=2BC,点E为AD的中点,连接BE、BD,∠ABD=90°.
(1)如图l,求证:四边形BCDE为菱形;
(2)如图2,连接AC交BD于点F,连接EF,若AC平分∠BAD,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于△ABC面积的.
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