Question

【题目】△ABC和△CDE都是等腰三角形，∠BAC＝∠EDC＝120°．

（1）如图1，A、D、C在同一直线上时，＝_______，＝_______；

（2）在图1的基础上，固定△ABC，将△CDE绕C旋转一定的角度α(0°＜α＜360°)，如图2，连接AD、BE．

① 的值有没有改变？请说明理由．

②拓展研究：若AB＝1，DE＝，当 B、D、E在同一直线上时，请计算线段AD的长；

Answer 1

【答案】（1），；（2）①没有改变，理由见解析；②线段AD的长为或．

【解析】

（1）由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得AC＝2AH，CH＝AH，由平行线分线段成比例可得，即可求解；
（2）①通过证明△ACD∽△BCE，可得；②分两种情况进行讨论，（i）如图，当B、D、E在同一直线上，且点D在BE中间时，过点C作CN⊥BE于N，利用直角三角形的性质和勾股定理求出BE＝，由①的结论可求解；（ii）如图，当 B、D、E在同一直线上，且点B在ED中间时，过点B作BH⊥EC于H，利用勾股定理求出BH＝，再由①的结论可求解．

解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于H，

∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，BH＝CH，
∴AC＝2AH，CH＝，
∴BC＝2AH，
∵∠BAC＝∠EDC＝120°，
∴AB∥DE，
∴，
故答案为：，；

（2）①没有改变，
理由如下：∵将△CDE绕C旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），
∴∠ACD＝∠BCE，
∵AB＝AC，DE＝CD，
∴，且∠BAC＝∠EDC＝120°，
∴△ABC∽△DEC，
∴，且∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴，

∴的值有没有改变
②（i）如图，当B、D、E在同一直线上，且点D在BE中间时，过点C作CN⊥BE于N，

∵AC＝AB＝1，
∴由（1）可知，BC＝，
∵∠CDE＝120°，
∴∠BDC＝60°，且CD＝DE＝，CN⊥BE，
∴DN＝CD＝，CN＝＝，

∴EC=2CN=，
∵BN＝，

∴BE＝，
∵，

∴AD＝，
（ii）如图，当 B、D、E在同一直线上，且点B在ED中间时，过点B作BH⊥EC于H，

∵∠BEC＝30°，BH⊥EC，

∴BE=2BH，EH＝，
∵BC2＝BH2＋HC2，
∴3＝BH2＋ ，
∴BH＝，
∴BE＝

∵

∴AD＝．

综上所述，线段AD的长为或．