Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.下列结论：①点G是BC中点；②FG＝FC；③S△FGC＝.其中正确的是(　　)

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：先求出DE、CE的长，再根据翻折的性质可得AD=AF，EF=DE，∠AFE=∠D=90°，再利用“HL”证明Rt△ABG和Rt△AFG全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=FG，再设BG=FG=x，然后表示出EG、CG，在Rt△CEG中，利用勾股定理列出方程求出x=，从而可以判断①正确；根据∠AGB的正切值判断∠AGB≠60°，从而求出∠CGF≠60°，△CGF不是等边三角形，FG≠FC，判断②错误；先求出△CGE的面积，再求出EF：FG，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边长的比求解即可得到△FGC的面积，判断③正确．

详解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，

∴DE=×3=1，CE=3-1=2，

∵△ADE沿AE对折至△AFE，

∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，

∴AB=AF=AD，

在Rt△ABG和Rt△AFG中，

，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），

∴BG=FG，

设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3-x，

在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，

即（1+x）2=（3-x）2+22，

解得，x=，

∴CG=3-=，

∴BG=CG=，

即点G是BC中点，故①正确；

∵tan∠AGB= =2，

∴∠AGB≠60°，

∴∠CGF≠180°-60°×2≠60°，

又∵BG=CG=FG，

∴△CGF不是等边三角形，

∴FG≠FC，故②错误；

△CGE的面积=CGCE=××2=，

∵EF：FG=1：=2：3，

∴S△FGC=，故③正确；

综上所述，正确的结论有①③．

故选B．