Question

11．如图，△ABC内接于⊙O，点D在AC边上，AD=$\frac{3}{2}$CD，在$\widehat{BC}$上取一点E，使得∠CDE=∠ABC，连接AE，求$\frac{AE}{DE}$的值．

Answer 1

分析 连接CE，根据∠ABC=∠AEC且∠CDE=∠ABC可得∠AEC=∠EDC，可证得△ACE∽△ECD，故$\frac{AE}{DE}=\frac{AC}{CE}=\frac{CE}{DC}$，由AD=$\frac{3}{2}$CD可设AD=3x，分别表示出AC的长，进而表示出CE的长，可得AE：DE的值．

解答 解：如图，连接CE，

∵$\widehat{AC}$所对的圆周角∠ABC=∠AEC，且∠CDE=∠ABC，
∴∠AEC=∠EDC，
又∵∠ACE=∠ECD，
∴△ACE∽△ECD，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{AC}{CE}=\frac{CE}{DC}$，
∵AD=$\frac{3}{2}$CD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{3}{2}$，
设AD=3x，则CD=2x，AC=5x，
则CE²=AC•DC=10x²，得：CE=$\sqrt{10}$x
故$\frac{AE}{DE}=\frac{AC}{CE}=\frac{5x}{\sqrt{10}x}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题主要考查相似三角形的性质与判定及圆周角定理的运用，根据圆周角定理得出两角相等是证明三角形相似的前提，根据相似性质得到对应边成比例是关键．