Question

1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°．E为AB中点，D为AC上一点，BF∥AC交DE的延长线于点F．AC=6，BC=5．则四边形FBCD周长的最小值是16．

Answer 1

分析 由条件易知△BFE与△ADE全等，从而BF=AD，则BF+CD=AD+CD=AC=6，所以只需FD最小即可，由垂线段最短原理可知，当FD垂直AC时最短．

解答 解：∵BF∥AC，
∴∠EBF=∠EAD，
在△BFE和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠EAD}\\{BE=AE}\\{∠BEF=∠AED}\end{array}\right.$，
∴△BFE≌△ADE（ASA），
∴BF=AD，
∴BF+FD+CD+BC=AD+CD+FD+BC=AC+BC+FD=11+FD，
∴当FD⊥AC时，FD最短，此时FD=BC=5，
∴四边形FBCD周长的最小值为5+11=16，
故答案为16．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、垂线段最短原理，难度中等．识别出△BFE≌△ADE，并将问题转化为求FD的最小值是解答本题的关键．