Question

15．如图，在等腰三角形ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC内一点，PA=1，PB=3，PC=$\sqrt{7}$，将△APB绕点A逆时针旋转后与△AQC重合．求：
（1）线段PQ的长；
（2）∠APC的度数．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质可知△QPA为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得QP的长；
（2）△QPA为等腰直角三角形，故此∠APQ=45°，在△QPC中PC=$\sqrt{7}$，QC=3，QP=$\sqrt{2}$，由勾股定理的逆定理可证△QCP为直角三角形，从而可求得∠APC=135°．

解答 解：（1）∵△APB绕点A旋转与△AQC重合
∴AQ=AP=1，∠QAP=∠CAB=90°．
在Rt△APQ中，由勾股定理得：PQ=$\sqrt{A{Q^2}+A{P^2}}$=$\sqrt{{1^2}+{1^2}}$=$\sqrt{2}$．
（2）∵∠QAP=90°，AQ=AP，
∴∠APQ=45°．
∵△APB绕点A旋转与△AQC重合，
∴CQ=BP=3．
∵在△CPQ中PQ=$\sqrt{2}$，CQ=3，CP=$\sqrt{7}$，
∴CP²+PQ²=（$\sqrt{7}$）²+（$\sqrt{2}$）²=9，CQ²=3²=9．
∴CP²+PQ²=CQ²．
∴∠CPQ=90°．
∴∠APC=∠CPQ+∠APQ=135°．

点评 本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的逆定理的应用，证得△QCP为直角三角形是解题的关键．