Question

【题目】如图1，平面直角坐标系中，抛物线y= 与x 轴的两个交点分别为A（﹣3，0），B（1，0），与y轴的交点为D，对称轴与抛物线交于点C，与x轴负半轴交于点H.

（1）求抛物线的表达式；
（2）点E，F 分别是抛物线对称轴CH 上的两个动点（点E 在点F 上方），且EF=1，求使四边形BDEF 的周长最小时的点E，F 坐标及最小值；
（3）如图2，点P 为对称轴左侧，x 轴上方的抛物线上的点，PQ⊥AC 交AC 于点Q，是否存在这样的点P 使△PCQ与△ACH 相似，若存在请求出点P 的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

将A（﹣3，0）、B（1，0），代入y=ax2+bx+3，

得：

解得：

抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，

顶点C的坐标为（﹣1，4）．

（2）

将D点向下平移1个单位，得点M，连接AM交对称轴于F，作DE∥FM交对称轴于E点，

如图，EF∥DM，DE∥FM，四边形EFMD是平行四边形，

DE=FM，EF=DM=1．

DE+FB=FM+AF=AM．

由勾股定理，得AM==，

BD=

四边形BDEF周长的最小值=BD+DE+EF+FB

=BD+EF+(DE+BF)

= BD+EF +AM

=+1+；

设AM的解析式为y=kx+b，将A、M点坐标代入解得k=，b=2．

AD的解析式为y= x+2，

当x=﹣1时，y= ，即F（﹣1， ），

由EF=1，得E（﹣1， ），

当四边形BDEF周长最小时，此时点F（﹣1， ），E的坐标（﹣1， ），

四边形BDEF周长的最小值是 +1+．

（3）

点P在对称轴左侧.

只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．

过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N．

由△CFA∽△CAH得 =2，

由△FNA∽△AHC得 ．

∴AN=2，FN=1，点F坐标为（﹣5，1）．

设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则，

解得： ．

∴直线CF的解析式 ，

联立 ，

解得： 或 （舍去）．

∴满足条件的点P坐标为 ．

【解析】(1)二次函数解析系中有2个未知数，所以就需要2个点，将两点的坐标代进去即可求得；
（2）根据轴对称-求最短路径的方法去做；
（3）因为∠PCQ<∠CAH，所以只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N．