Question

【题目】如图，点O在ABCD的AD边上，⊙O经过A、B、C三点，点E在⊙O外，且OE⊥BC，垂足为F．

（1）若EC是⊙O的切线，∠A＝65°，求∠ECB的度数；

（2）若OF＝4，OD＝1，求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）40°；（2）2

【解析】

（1）连接OB、OC，如图，利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质计算出∠OCB=50°，即可得到结论；
（2）作DH⊥BC于H，如图，设⊙O的半径为r，则AD=r+1，利用平行四边形的性质得BC=AD=r+1，AD∥BC，AB=CD，再根据垂径定理得BF=CF=（r+1），在Rt△OCF中利用勾股定理得到42+（r+1）2=r2，解方程得到r=5，然后在Rt△CDH中利用勾股定理计算CD即可得到AB的长．

解：（1）连接OB、OC，如图，

∵EC是⊙O的切线，

∴∠OCE＝90°，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣65°＝115°，

∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠A＝65°，

∴∠OBC＝115°﹣65°＝50°，

∴∠OCB＝50°，

∴∠BCE＝∠OCE﹣∠OCB＝90°﹣50°＝40°；

（2）解：作DH⊥BC于H，如图，设⊙O的半径为r，则AD＝r+1，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴BC＝AD＝r+1，AD∥BC，AB＝CD，

∵OE⊥BC，

∴四边形ODHF为矩形，BF＝CF＝（r+1），

∴FH＝OD＝1，DH＝OF＝4，

在Rt△OCF中，42+（r+1）2＝r2，解得r1＝﹣（舍去），r2＝5，

在Rt△CDH中，∵CH＝2，DH＝4，

∴CD＝＝2，

∴AB＝2．