Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+（3m+1）x﹣m（m＞且为实数）与x轴分别交于点A、B（点B位于点A的右侧且AB≠OA），与y轴交于点C．

（1）填空：点B的坐标为　 　，点C的坐标为　 　（用含m的代数式表示）；

（2）当m=3时，在直线BC上方的抛物线上有一点M，过M作x轴的垂线交直线BC于点N，求线段MN的最大值；

（3）在第四象限内是否存在点P，使得△PCO，△POA和△PAB中的任意两三角形都相似（全等是相似的特殊情况）？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（1，0），B（3m，0）（2）当a=时，MN的最大值为（3）P（1，3），（1，），（1，）

【解析】

（1）令x＝0，或y＝0，可求B，C坐标；

（2）求出BC解析式，设M（a，a2＋a3），则N（a3），用a表示MN的长度，根据二次函数最值问题可求MN的最大值；

（3）由O，A，B都在x轴上，且要使△PCO，△POA，△PAB中的任意两个三角形均相似，则三个三角形都是直角三角形．可得PA⊥x轴．分∠OPC＝90°和∠OCP＝90°，分两种情况讨论，根据相似三角形所得的线段比可求P点坐标．

（1）令y=0，则x=﹣m，

∴C（0，﹣m），

令y=0，则0=﹣x2+（3m+1）x﹣m，

∴x1=1，x2=3m，

且m＞，

∴A（1，0），B（3m，0），

（2）当m=3时，则抛物线解析式y=﹣x2+x﹣3，

∴C（0，﹣3），B（9，0），

∴直线BC解析式y=x﹣3

设M（a，﹣a2+a﹣3），则N（a﹣3）

∴MN=﹣a2+a﹣3﹣a+3=﹣a2+3a

∴当a=时，MN的最大值为；

（3）∵O，A，B都在x轴上

∴要使△PCO，△POA，△PAB中的任意两个三角形均相似，则三个三角形都是直角三角形．

∴PA⊥x轴．

如图1

当∠OCP=90°，且AO⊥CO，PA⊥AB

∴四边形OACP是矩形

∴OA=CP=1，OC=AP=m

∵△POA∽△PAB

∴，

∴m2=（3m﹣1）×1

∴m2﹣3m+1=0

∴m1=，m2=

∴P（1，）或（1，）

如图2

当∠OPC=90°时，

∵△OCP∽△AOP∽△ABP

∴，，

∴OP2=AP×OC=OA×OB，

∴AP×m=1×3m，

∴AP=3，

∴P（1，3），

综上所述：P（1，3），（1，），（1，）