【题目】“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，则△ACD与△CBD相似吗？”于是，学生甲发现CD2=AD·BD也成立．
问题1：请你证明CD2=AD·BD；
学生乙从CD2=AD·BD中得出：可以画出两条已知线段的比例中项．
问题2：已知两条线段AB、BC在x轴上，如图2：请你用直尺（无刻度）和圆规作出这两条线段的比例中项．要求保留作图痕迹，不要写作法，最后指出所要作的线段．
学生丙也从CD2=AD·BD中悟出了矩形与正方形的等积作法．
问题3：如图3，已知矩形ABCD，请你用直尺（无刻度）和圆规作出一个正方形BMNP，使得S正方形BMNP=S矩形ABCD．要求：保留作图痕迹；简要写出作图每个步骤的要点．
【答案】（1）证明见解析;（2）作图见解析,CD为所要画的线段;（3）过程见解析.
【解析】试题分析：问题1：只要证明△ACD∽△CBD，可得
，即可证明；
问题2：如图2中，作AC的中点K，以K为圆心KA为半径作⊙K交y轴正半轴于D．线段BD为所要画的线段；
问题3：①延长AB至E，使得BE=BC；②以AE为直径，画半圆O，与BC的延长线相交于M③以BM为边做正方形BMNP．正方形BMNP即为所求；
试题解析：问题1:证明：如图1中，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴
，
∴CD2=ADBD.
问题2:如图2中，作AC的中点K，以K为圆心KA为半径作⊙K交y轴正半轴于D.
线段BD为所要画的线段。
问题3:①延长AB至E，使得BE=BC；
②以AE为直径，画半圆O，与BC的延长线相交于M
③以BM为边做正方形BMNP.
正方形BMNP即为所求。
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【题目】问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足 关系．（直接写出结论）
问题情境2
如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足 关系．（直接写出结论）
问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：
已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；
（2）如图5中，∠ABM＝
∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．
（3）若∠ABM＝
∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝ ．
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【题目】如下图中的图象(折线ABCDE)描述了一汽车在某一直路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离S(千米)和行驶时间t(小时)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：
①汽车在途中停留了0.5小时；
②汽车行驶3小时后离出发地最远；
③汽车共行驶了120千米；
④汽车返回时的速度是80千米/小时．
其中正确的说法共有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】如图所示，矩形ABCD中，AE平分
交BC于E，
，则下面的结论：①
是等边三角形；②
；③
；④
，其中正确结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时 间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（ ）
A. 体育场离张强家2.5千米
B. 张强在体育场锻炼了15分钟
C. 体育场离早餐店1.千米
D. 张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时
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【题目】将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．
(1)、如图①，对△ABC作变换[50°，
]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC= ；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为 度；
(2)、如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；
(3)、如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．
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【题目】如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线l经过点A，过B、C两点分别作直线l的垂线段，垂足分别为D、E．
（1）如图1，△ABD与与△CAE全等吗？请说明理由；
（2）如图1，BD=DE+CE成立吗？为什么？
（3）若直线AE绕A点旋转到如图2位置时，其它条件不变，BD与DE、CE关系如何？请说明理由．
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【题目】如图，在平面直角坐标系中，点
为坐标原点．已知：抛物线
经过点
和点
．
（
）试判断该抛物线与
轴交点的情况．
（
）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点
，且与
轴交于点
，同时满足以
， 
， 
为顶点的三角形是等腰直角三角形．请你写出平移过程，并说明理由．
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【题目】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为
A. 3B. 4C. 5D. 8
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