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【题目】如图,直线y=x+cx轴交于点A30),与y轴交于点B,抛物线y=x2+bx+c经过点ABMm0)为x轴上一动点,点M在线段OA上运动且不与OA重合,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点PN

1)求点B的坐标和抛物线的解析式;

2)在运动过程中,若点P为线段MN的中点,求m的值;

3)在运动过程中,若以BPN为顶点的三角形与△APM相似,求点M的坐标;

【答案】1B02),抛物线解析式为y=x2+x+2

2m的值为

3)当以BPN为顶点的三角形与△APM相似时,点M的坐标为(2.5.0)或(0).

【解析】

1)把A点坐标代入直线解析式可求得c,则可求得B点坐标,由AB的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;

2)用m可表示出MPN的坐标,由题意可知有P为线段MN的中点,可得到关于m的方程,可求得m的值.

3)由M点坐标可表示PN的坐标,从而可表示出MAMPPNPB的长,分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况,分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程,可求得m的值,从而得到点M的坐标.

1)∵y=x+cx轴交于点A30),与y轴交于点B

0=2+c,解得c=2

B02),

∵抛物线y=x2+bx+c经过点AB

,解得

∴抛物线解析式为y=x2+x+2

2)由(1)可知直线解析式为y=x+2

Mm0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点PN

Pm,﹣m+2),Nm,﹣m2+m+2),

P为线段MN的中点时,

∴有2(﹣m+2=m2+m+2

解得m=3(三点重合,舍去)或m=

m的值为

3)由(1)可知直线解析式为y=x+2

Mm0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点PN

Pm,﹣m+2),Nm,﹣m2+m+2),

PM=m+2AM=3mPN=m2+m+2﹣(﹣m+2=m2+4m

∵△BPNAPM相似,且∠BPN=APM

∴∠BNP=AMP=90°或∠NBP=AMP=90°

当∠BNP=90°时,则有BNMN

N点的纵坐标为2

∴﹣m2+m+2=2,解得m=0(舍去)或m=2.5

M2.50);

当∠NBP=90°时,过点NNCy轴于点C

则∠NBC+BNC=90°NC=mBC=m2+m+22=m2+m

∵∠NBP=90°

∴∠NBC+ABO=90°

∴∠ABO=BNC

RtNCBRtBOA

=,解得m=0(舍去)或m=

M0);

综上可知,当以BPN为顶点的三角形与APM相似时,点M的坐标为(2.5.0)或(0).

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