Question

【题目】如图，正方形ABCD中， O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE，AF于G ，H ，下列结论：①∠CEH=45°；②GF//DE；③2OH+DH=BD；④BG=DG；⑤△BEC ： S△BGC=.其中正确的结论是（ ）

A.①②⑤B.①②④C.①②D.②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠BAE＝∠BEA＝∠CED＝∠CDE＝75°，∠EAD＝∠EDA＝15°，然后可得∠CEH＝45°．

②由条件可以得出∠BDE＝30°，∠DEF＝30°，然后证明△DEF≌△EDG，得出DF＝EG，进而得出CG＝CF，求出∠CGF＝75°，由∠CED＝75°，就可以得出GF∥DE；

③由O为BD中点可以得出，BD＝2OD＝2（OH＋HD），BDDH＝BH，得出BH＝2（OH＋HD）DH＝2OH＋DH；

④ 设AB＝BC＝CD＝AD＝x，推出BM＝x，DN＝x，由可得，即可求出BG＝DG．

⑤作AF的垂直平分线交AD于P，设DF＝a，CE＝BC＝AD＝，GE＝DF＝a，然后可得GC＝，由S△BEC：S△BGC＝EC：CG，即可解决问题．

解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°．
∵△BEC是等边三角形，
∴BC＝BE＝CE，∠EBC＝∠BCE＝∠BEC＝60°，
∴AB＝BE＝CE＝CD，∠ABE＝∠DCE＝30°，
∴∠BAE＝∠BEA＝∠CED＝∠CDE＝75°，
∴∠EAD＝∠EDA＝15°，
∴∠DEF＝30°，
∴∠CEH＝45°，故①正确；
∵∠EDC＝75°，∠BDC＝45°，
∴∠EDB＝30°，
∴∠DEF＝∠EDG，∠EGD＝75°．
∵∠ADC＝90°，∠DAF＝15°，
∴∠EFD＝75°，
∴∠EFD＝∠EGD．
在△DEF和△EDG中，，
∴△DEF≌△EDG，
∴DF＝EG，
∵EC＝DC，
∴ECEG＝DCDF，
∴CG＝CF，
∴∠CGF＝∠CFG＝75°，
∴∠CED＝∠CGF，
∴GF∥DE，故②正确；
O为BD中点，
∴BD＝2OD＝2（OH＋HD），
∵BDDH＝BH，
∴BH＝2（OH＋HD）DH＝2OH＋2HDHD＝2OH＋DH．故③错误；
作BM⊥CG于M，DN⊥CE于N，
∴∠BMC＝∠DNC＝90°，
∴BM＝sin60°BC，DN＝sin30°CD，
设AB＝BC＝CD＝AD＝x，
∴BM＝，DN＝，
∵，

∴，即BG＝DG，故④错误；
⑤作AF的垂直平分线交AD于P，则∠DAF＝∠AFP＝15°，

∴∠DPF＝30°，

设DF＝a，

则PF=2a，DP＝，

∴AP＝PF=2a，

∴AD＝，

∴CE＝BC＝AD＝，GE＝DF＝a，

∴GC＝，
∵S△BEC：S△BGC＝EC：GC，
∴S△BEC：S△BGC＝，故⑤正确．
综上所述，正确的是①②⑤，
故选：A．