Question

7．如图1，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm．E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE．
（1）求证：四边形EFGH是菱形；
（2）如图2，若E₁，E₂分别从E出发以1cm/s的速度沿射线EA，EB方向运动，同时G₁，G₂从G出发以同样的速度分别沿射线GD，GC方向运动，E₁F与E₂H交于点M，G₁F与G₂H交于点N．设运动的时间为t（s），求四边形E₁FG₂H与四边形E₂HG₁F覆盖平面的总面积y与运动时间t之间的函数关系式；
（3）当t为何值时，四边形HMFN为正方形．

Answer 1

分析 （1）连结AC，BD，根据三角形的中位线定理和矩形的对角线相等证明EF=FG=GH=HE，得到答案；
（2）证明△MOH∽△HAE₂，求出MO的长，表示出四边形E₁FG₂H与四边形E₂HG₁F覆盖平面的总面积y与运动时间t之间的函数关系式；
（3）根据四边形HMFN为正方形时，MO=$\frac{1}{2}$HF，求出时间t．

解答 证明：（1）连结AC，BD，
∵E为AB的中点，F为BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线∴EF=$\frac{1}{2}$AC
同理HG=$\frac{1}{2}$AC，EH=FG=$\frac{1}{2}$BD
∵矩形ABCD
∴AC=BD
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH是菱形．
（2）连结HF，MN交于点O．
由△MOH∽△HAE₂，
∴$\frac{MO}{OH}$=$\frac{AH}{{E}_{2}A}$，
∴，$\frac{MO}{2}$=$\frac{4}{t+2}$，
∴MO=$\frac{8}{t+2}$，
y=2（S_△${\;}_{△HF{E}_{1}}$+S${\;}_{△HF{E}_{2}}$-S_△HFM）
y=32-$\frac{32}{t+2}$．
（3）∵四边形HMFN是正方形，
∴MO=$\frac{1}{2}$HF
∴$\frac{8}{t+2}$=2
∴t=2．

点评 本题是四边形的综合应用题，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理和正方形的性质是解题的关键，根据题意正确找出辅助线是解决问题的重点．