Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC=BC，判断四边形OCED的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：切线的判定,正方形的判定

专题：

分析：（1）连接OD、CD，结合AC为直径可得到∠CDB=90°，E为中点，可得到ED=CE，再利用角的和差可求得∠ODE=90°，可得DE为切线；
（2）由条件可得∠ODA=∠A=45°，可求得∠COD=∠ODE=∠ACB=90°，且OC=OD，可知四边形ODEC为正方形．

解答：（1）证明：如图，连接OD、CD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠CDB=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=CE，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠OCD+∠ECD=∠ODC+∠EDC=90°，
∴∠ODE=∠ACB=90°，
即OD⊥DE，
又∵D在圆O上，
∴DE与圆O相切；
（2）解：若AC=BC，四边形ODEC为正方形，
理由：
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=45°，
∴∠COD=∠A+∠ODA=90°，
∵四边形ODEC中，∠COD=∠ODE=∠ACB=90°，且OC=OD，
∴四边形ODEC为正方形．

点评：本题主要考查切线的判定及正方形的判定，掌握切线的判定方法是解题的关键，在判定四边形为正方形时注意方法的选择，可以先证明是菱形再证明矩形，也可以先证明是矩形再证明菱形．