【题目】在
中，
，
，
，动点
从点
开始沿边
向点
以每秒1个单位长度的速度运动，动点
从点开始沿边
向点
以每秒2个单位长度的速度运动，过点作
，交
于点
，连接
．点
分别从点
同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为
秒
．
（1）如图①，直接用含的代数式分别表示：
，
______，
（2）如图②，
①当
_____秒时，四边形
为平行四边形．
②是否存在的值，使四边形
为菱形？若存在，写出的值；若不存在，请求出当点的速度（匀速运动）变为每秒多少个单位长度时，才能使四边形在某一时刻成为菱形？
（3）设
的外接圆面积为
，求出与的函数关系式，并判断当最小时，的外接圆与直线的位置关系，并且说明理由．
【答案】（1）
；
；（2）①
，②不存在菱形，详见解析；（3）
的外接圆与直线
相交．详见解析
【解析】
（1）根据题意得到CQ=2t，AP=t，求出BQ，证明△ADP∽△ABC，根据相似三角形的性质求出PD；
（2）①根据平行四边形的判定方法列出关于t的方程，解方程即可；
②根据菱形的判定方法列出关于t的方程，解方程，看是否符合题意；
（3）
于
，
于
，
于
，连接
、
、
，由勾股定理找到
与
的函数关系式，并求得S最小时，t的值，从而求出OM的长，再判断圆与直线的位置关系.
（1）由题意得，CQ=2t，AP=t，
则BQ=8-2t，
∵DP⊥AC，BC⊥AC，
∴PD∥BC，
∴△ADP∽△ABC，
∴
=
，即
=
，
解得PD=
故答案为：8-2t；；
（2）①∵PD∥BC，
∴当PD=BQ时，四边形PDBQ为平行四边形，
∴8-2t=
解得t=，
则当t=时，四边形PDBQ为平行四边形；
②不存在菱形，
设点
的速度为每秒
个单位长度．
则
，
，
．
要使四边形
是菱形，则
．
当
，即
．解得
．
当
，时，即
，解得
．
∴当点的速度为每秒
个单位时，经过
秒，四边形是菱形．
（3）如图，
是
的外接圆的圆心，作于，于，于，连接、、．
∵
∴
；
∴
时，
取最小值．
此时
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴的外接圆与直线相交．
快乐小博士巩固与提高系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝
，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）
A.点B坐标为(5，4)B.AB＝ADC.a＝
D.OCOD＝16
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】小腾的爸爸计划将一笔资金用于不超过10天的短期投资，针对这笔资金，银行专属客户经理提供了三种投资方案，这三种方案的回报如下：
方案一：每一天回报30元；
方案二：第一天回报8元，以后每一天比前一天多回报8元；
方案三：第一天回报0.5元，以后每一天的回报是前一天的2倍．
下面是小腾帮助爸爸选择方案的探究过程，请补充完整：
（1）确定不同天数所得回报金额（不足一天按一天计算），如下表：
天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
方案一 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 |
方案二 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 |
方案三 | 0.5 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 |
|
其中
________；
（2）计算累计回报金额，设投资天数为
（单位：天），所得累计回报金额是
（单位：元），于是得到三种方案的累计回报金额
，
，
与投资天数的几组对应值：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 30 | 60 | 90 | 120 | 150 | 180 | 210 | 240 | 270 | 300 |
| 8 | 24 | 48 | 80 | 120 | 168 | 224 | 288 | 360 | 440 |
| 0.5 | 1.5 | 3.5 | 7.5 | 15.5 | 31.5 | 63.5 | 127.5 | 255.5 |
|
其中
________；
（3）在同一平面直角坐标系
中，描出补全后的表中各组数值所对应的点
，
，
，并画出，，的图象；
注：为了便于分析，用虚线连接离散的点．
（4）结合图象，小腾给出了依据不同的天数而选择对应方案的建议：
_________________________________________________________________________
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】某商场销售10台A型和20台B型加湿器的利润为2500元，销售20台A型和10台B型加湿器的利润为2000元
(1)求每台A型加湿器和B型加湿器的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的加湿器共100台，其中B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，设购进A型加湿器x台．这100台加湿器的销售总利润为y元
①求y关于x的函数关系式；
②该商店应怎样进货才能使销售总利润最大?
(3)实际进货时，厂家对A型加湿器出厂价下调m(0<m<100)元，且限定商店最多购进A型加湿器70台，若商店保持两种加湿器的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这100台加湿器销售总利润最大的进货方案．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】某校七年级有学生400人，为了解这个年级普及安全教育的情况，随机抽取了20名学生，进行安全教育考试，测试成绩（百分制）如下：
71 94 87 92 55 94 98 78 86 94
62 99 94 51 88 97 94 98 85 91
（1）请补全七年级20名学生安全教育测试成绩频数分布直方图；
（2）样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如下表所示，请补充完整；
年级 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 优秀率 |
七年级 | 85.4 |
|
|
|
（3）估计七年级成绩优秀的学生人数约为_________人．
（4）学校有安全教育老师男女各2名，现从这4名老师中随机挑选2名参加“安全教育”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，
，连接
．
（1）如图1,若
三点在同一条直线上，则
与
的关系是 ；
（2）如图2，若三点不在同一条直线上,与相交于点
，连接
,猜想
之间的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，在(2)的条件下作
的中点
,连接
，直接写出
与之间的关系．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线“的尺规作图过程．
已知：如图，直线
和直线外一点
．
求作：直线
，使直线
直线．
作法：如图，
①在直线上任取一点
，作射线
；
②以为圆心，
为半径作弧，交直线于点
，连接
；
③以为圆心，长为半径作弧，交射线于点
；分别以
为圆心，大于
长为半径作弧，在
的右侧两弧交于点
；
④作直线；
所以直线就是所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知平分
，
．
又
，
．(_______________________________)(填依据1)．
，
．
，∴直线直线．(______________________)(填依据2)．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】某市教育行政部门为了解初中学生参加综合实践活动的情况，随机抽取了本市初一、初二、初三年级各
名学生进行了调查，调查结果如图所示，请你根据图中的信息回答问题．
（1）在被调查的学生中，参加综合实践活动的有多少人，参加科技活动的有多少人；
（2）如果本市有
万名初中学生，请你估计参加科技活动的学生约有多少名．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】某养殖场计划今年养殖无公害标准化龙虾和鲤鱼，由于受养殖水面的制约，这两个品种的苗种的总投放量只有50吨．根据经验测算，这两个品种的种苗每投放一吨的先期投资、养殖期间的投资以及产值如下表：(单位：千元/吨)
品种 | 先期投资 | 养殖期间投资 | 产值 |
鲤鱼 | 9 | 3 | 30 |
龙虾 | 4 | 10 | 20 |
养殖场受经济条件的影响，先期投资不超过360千元，养殖期间的投资不超过290千元.设鲤鱼种苗的投放量为x吨．
(1)求x的取值范围；
(2)设这两个品种产出后的总产值为y(千元)，试写出y与x之间的函数关系式，并求出当x等于多少时，y有最大值?最大值是多少?
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