【题目】将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起,,连接.
(1)如图1,若三点在同一条直线上,则与的关系是 ;
(2)如图2,若三点不在同一条直线上,与相交于点,连接,猜想之间的数量关系,并给予证明;
(3)如图3,在(2)的条件下作的中点,连接,直接写出与之间的关系.
【答案】(1)且;(2);证明见解析;(3)且.
【解析】
(1)根据题意利用全等三角形的判定与性质以及延长AC交BD于点C’进行角的等量代换进行分析即可;
(2)根据题意在上截取,连接,并全等三角形的判定证明和,进而利用勾股定理得出进行分析求解即可;
(3)过点B作BM∥OC,交OF的延长线于点M,延长FO交AD于点N,证明BFMCFO,AODOBM,进而即可得到结论.
解:∵,
∴,
延长AC交BD于点C’,如下图:
∵,
∴,
即,综上且,
故答案为:且;
证明:在上截取,连接
在和中
在和中
即
;
且,理由如下:
过点B作BM∥OC,交OF的延长线于点M,延长FO交AD于点N,
∵BM∥OC,
∴∠M=∠FOC,
∵∠BFM=∠CFO,BF=CF,
∴BFMCFO(AAS),
∴OF=MF,BM=CO,
∵DO=CO,
∴DO=BM,
∵BM∥OC,
∴∠OBM+∠BOC=180°,
∵∠BOC+∠AOD=360°-90°-90°=180°,
∴∠OBM=∠AOD,
又∵AO=BO,
∴AODOBM(SAS),
∴AD=OM=2OF ,∠BOM=∠OAD,
∵∠BOM+∠AON=180°-90°=90°,
∴∠OAD+∠AON=90°,即OF⊥AD.
∴且.
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【题目】古希腊数学家毕达哥拉斯认为:“一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美丽的圆.如图,线段AB是⊙O的直径,延长AB至点C,使BC=OB,点E是线段OB的中点,DE⊥AB交⊙O于点D,点P是⊙O上一动点(不与点A,B重合),连接CD,PE,PC.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)小明在研究的过程中发现是一个确定的值.回答这个确定的值是多少?并对小明发现的结论加以证明.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC=2,∠B=30°,△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<120°)得到,与BC,AC分别交于点D,E.设,的面积为,则与的函数图象大致为( )
A.B.C.D.
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【题目】在中,,,,动点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度运动,动点从点开始沿边向点以每秒2个单位长度的速度运动,过点作,交于点,连接.点分别从点同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为秒.
(1)如图①,直接用含的代数式分别表示: ,______,
(2)如图②,
①当_____秒时,四边形为平行四边形.
②是否存在的值,使四边形为菱形?若存在,写出的值;若不存在,请求出当点的速度(匀速运动)变为每秒多少个单位长度时,才能使四边形在某一时刻成为菱形?
(3)设的外接圆面积为,求出与的函数关系式,并判断当最小时,的外接圆与直线的位置关系,并且说明理由.
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【题目】如图,动点在平面直角坐标系中,按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,2),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,1),第4次接着运动到点(4,0),……,按这样的运动规律,经过第27次运动后,动点的坐标是( )
A.(26,0)B.(26,1)C.(27,1)D.(27,2)
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为,直线与抛物线交于点(点在点的左侧).
(1)求点坐标;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段及抛物线在两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)记为.
①当时,结合函数图象,直接写出区域内的整点个数;
②如果区域内有2个整点,请求出的取值范围.
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【题目】如图,RtΔABC中∠C=90°,∠ABC=30°,ΔABC绕点C顺时针旋转得ΔA1B1C,当A1落在AB上时,连接B1B,取B1B的中点D,连接A1D,则的值为_______.
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