Question

10．如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．
（1）将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得到△BEC，请你画出△BEC．
（2）连接PE，求证：△PEC是直角三角形；
（3）填空：∠APB的度数为135°．

Answer 1

分析 （1）将△APB绕B点顺时针旋转90°，即将A，P，两点绕B点顺时针旋转90°，得出△CBE即可；
（2）根据旋转的性质，得出∠PBE=∠ABC=90°，BP=BE=2，即可证得△PBE是等腰直角三角形，从而求得PE，最后根据勾股定理的逆定理，即可得到△PEC是直角三角形；
（3）连接PE后，存在两个直角三角形：Rt△PBE和Rt△PCE，先求得∠BEC的度数，最后根据全等三角形的对应角相等，即可得出∠APB的度数．

解答 解：（1）如图所示，△CBE即为所求；


（2）证明：∵△BEC是由△APB绕点B顺时针方向旋转90°得到的，
∴△BEC≌△BPA，∠PBE=90°，
∴BE=BP=2，CE=PA=1，
∴△PBE是等腰直角三角形，CE²=1，
∴Rt△PBE中，PE²=PB²+BE²=4+4=8，
又∵PC=3，
∴PC²=9，
∴在△PCE中，PE²+CE²=PC²，
∴△PCE是直角三角形，且∠PEC=90°；

（3）由（2）可得，△PCE是直角三角形，△PBE是等腰直角三角形，
∴∠PEC=90°，∠BEP=45°，
∴∠BEC=90°+45°=135°，
又∵△BEC≌△BPA，
∴∠APB=∠BEC=135°．
故答案为：135°．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了图形的旋转的性质以及勾股定理的逆定理，正确理解旋转中出现相等的角和相等的边是解题的关键．要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．